Задача 79182 даны точки, найти расстояние от точки...

krisssss

16 января 2025 г. в 02:45

даны точки, найти расстояние от точки

Удачник66

16 января 2025 г. в 05:38

★

Даны точки K(–6; –8; –10); L(5; 0; –1); D(0; 3; –2); F(1; 5; 7)
Уравнение плоскости (LDF) по трем точкам – это определитель:
$\begin{vmatrix} x - x1 & y - y1 & z - z1 \\ x2 - x1 & y2 - y1 & z2 - z1 \\ x3 - x1 & y3 - y1 & z3 - z1 \\ \end{vmatrix} = 0$
Подставляем:
$\begin{vmatrix} x - 5 & y - 0 & z + 1 \\ 0 - 5 & 3 - 0 & -2 + 1 \\ 1 - 5 & 5 - 0 & 7 + 1 \\ \end{vmatrix} = 0$
Решаем:
$\begin{vmatrix} x - 5 & y & z + 1 \\ - 5 & 3 & -1 \\ -4 & 5 & 8 \\ \end{vmatrix} = 0$
Считаем определитель:
(x – 5)·3·8 + y(–1)(–4) + (z + 1)(–5)·5 – (x – 5)(–1)·5 – y(–5)·8 – (z + 1)·3(–4) = 0
24(x – 5) + 4y – 25(z + 1) + 5(x – 5) + 40y + 12(z + 1) = 0
29(x – 5) + 44y – 13(z + 1) = 0
29x + 44y – 13z – 145 – 13 = 0
(LDF): 29x + 44y – 13z – 158 = 0

Расстояние от точки K(–6; –8; –10) до плоскости (LDF):
$d = \frac{|Ax0 + By0 + Cz0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{|29(-6) + 44(-8) - 13(-10) - 158|}{\sqrt{29^2+44^2+(-13)^2}} =$
$= \frac{|-174 - 352 + 130 - 158|}{\sqrt{841+1936+169}} = \frac{|-554|}{\sqrt{2946}} = \frac{554}{\sqrt{2946}} = \frac{554}{\sqrt{2946}} = \frac{554 \sqrt{2946}}{2946}$
Сокращаем на 2:
Ответ: $d = \frac{277 \sqrt{2946}}{1473}$