Задача 79182 даны точки, найти расстояние от точки...
Условие
Решение
Уравнение плоскости (LDF) по трем точкам - это определитель:
[m]\begin{vmatrix}
x - x1 & y - y1 & z - z1 \\
x2 - x1 & y2 - y1 & z2 - z1 \\
x3 - x1 & y3 - y1 & z3 - z1 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
Подставляем:
[m]\begin{vmatrix}
x - 5 & y - 0 & z + 1 \\
0 - 5 & 3 - 0 & -2 + 1 \\
1 - 5 & 5 - 0 & 7 + 1 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
Решаем:
[m]\begin{vmatrix}
x - 5 & y & z + 1 \\
- 5 & 3 & -1 \\
-4 & 5 & 8 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
Считаем определитель:
(x - 5)*3*8 + y(-1)(-4) + (z + 1)(-5)*5 - (x - 5)(-1)*5 - y(-5)*8 - (z + 1)*3(-4) = 0
24(x - 5) + 4y - 25(z + 1) + 5(x - 5) + 40y + 12(z + 1) = 0
29(x - 5) + 44y - 13(z + 1) = 0
29x + 44y - 13z - 145 - 13 = 0
[b](LDF): 29x + 44y - 13z - 158 = 0[/b]
Расстояние от точки K(-6; -8; -10) до плоскости (LDF):
[m]d = \frac{|Ax0 + By0 + Cz0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{|29(-6) + 44(-8) - 13(-10) - 158|}{\sqrt{29^2+44^2+(-13)^2}} =[/m]
[m]= \frac{|-174 - 352 + 130 - 158|}{\sqrt{841+1936+169}} = \frac{|-554|}{\sqrt{2946}} = \frac{554}{\sqrt{2946}} = \frac{554}{\sqrt{2946}} = \frac{554 \sqrt{2946}}{2946} [/m]
Сокращаем на 2:
Ответ: [m]d = \frac{277 \sqrt{2946}}{1473}[/m]