Задача 79174 Нужно ответ , без решения ...
Условие
Решение
Точки перегиба - это точки, в которых вторая производная равна 0.
y' = 7x^6/42 - 12*6x^6/30 + 48*5x^4/20 - 64*4x^3/12 + 9 =
= x^6/6 - 12x^5/5 + 48x^4/4 - 64*x^3/3 + 9
y'' = 6x^5/6 - 12*5x^4/5 + 48*4x^3/4 - 64*3x^2/3 =
= x^5 - 12x^4 + 48x^3 - 64x^2 = x^2*(x^3 - 12x^2 + 48x - 64) = 0
x1 = x2 = 0
x^3 - 3*3x^2 + 3*4^2*x - 4^3 = 0
(x - 4)^3 = 0
x3 = 4
Критические точки второго порядка: x = 0 и x = 4.
Проверяем, есть ли в них перегибы.
Если y'' > 0 - график выпуклый вниз (вогнутый).
Если y'' < 0 - график выпуклый вверх (выпуклый).
y'' = x^2*(x^3 - 12x^2 + 48x - 64)
При x < 0, например, при x = -1 будет:
y'' = (-1)^2*((-1)^3 - 12(-1)^2 + 48(-1) - 64) = 1(-1 - 12 - 48 - 64) < 0
Здесь даже считать не нужно, просто оценить знак выражения.
Значит, при x < 0 график выпуклый.
При x ∈ (0; 4), например, при x = 1, будет:
y'' = 1^2*(1^3 - 12*1^2 + 48*1 - 64) = 1(1 - 12 + 48 - 64) = -11 - 16 < 0
Значит, при x ∈ (0; 4) график выпуклый.
То есть x = 0 - НЕ точка перегиба.
При x > 4, например, при x = 5 будет:
y'' = 5^2*(5^3 - 12*5^2 + 48*5 - 64) = 25(125 - 300 + 240 - 64) = 25*1 > 0
Значит, при x > 4 график вогнутый.
x = 4 - точка перегиба.
Ответ: (-oo; 4) : concav. (4 +oo) : convex