Задача 79164 исследовать функцию и построить ее...

олия

12 января 2025 г. в 11:38

исследовать функцию и построить ее график y=4x²/x²–1
Общая схема исследования функций:
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать поведение функции на концах области определения. Найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках. Найти вертикальные асимптоты.
3. Выяснить, является функция четной, нечетной, периодической.
4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.
5. Найти наклонные асимптоты графика функции.
6. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.
7. Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
8. Построить схематический график функции, используя все полученные результаты.

Удачник66

12 января 2025 г. в 10:55

★

[m]y = \frac{4x^2}{x^3-1}[/m]
1. Найти область определения функции:
x³ – 1 ≠ 0
(x – 1)(x² + x + 1) ≠ 0
x ≠ 1
x² + x + 1 > 0 при любом x.
Область определения: x ∈ (–oo; 1) U (1; +oo)

2. Исследовать поведение функции на концах области определения.
[m]\lim \limits_{x \to 1-0} \frac{4x^2}{x^3-1} = \lim \limits_{x \to 1-0} \frac{4(1-0)^2}{(1-0)^3-1} = \lim \limits_{x \to 1-0} \frac{4 \cdot 1^2 }{1^3 - 0 -1} = \lim \limits_{x \to 1-0} \frac{4}{- 0} = - \infty[/m]
[m]\lim \limits_{x \to 1+0} \frac{4x^2}{x^3-1} = \lim \limits_{x \to 1+0} \frac{4(1+0)^2}{(1+0)^3-1} = \lim \limits_{x \to 1+0} \frac{4 \cdot 1^2 }{1^3 + 0 -1} = \lim \limits_{x \to 1+0} \frac{4}{+0} = + \infty[/m]

Найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках. Найти вертикальные асимптоты.
Точка разрыва: x = 1, она же вертикальная асимптота.

3. Выяснить, является функция четной, нечетной, периодической.
[m]y(-x) = \frac{4(-x)^2}{(-x)^3-1} = \frac{4x^2}{-x^3-1}[/m]
y(–x) ≠ –y(x); y(–x) ≠ y(x)
Не четная, не нечетная, не периодическая.

4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.
y(0) = 0 – это точка пересечения с обеими осями координат.
Интервалы знакопостоянства:
При x < 0 будет y(x) < 0
При x ∈ (0; 1) будет y(x) < 0
При x > 1 будет y(1) > 0

5. Найти наклонные асимптоты графика функции.
f(x) = kx + b
[m]k = \lim \limits_{x \to +-\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim \limits_{x \to +-\infty} \frac{4x}{x^3-1} = \lim \limits_{x \to +-\infty} \frac{4}{x^2-1/x}= \frac{4}{+-\infty} = 0[/m]
[m]b = \lim \limits_{x \to +-\infty} (y(x) - kx) = \lim \limits_{x \to +-\infty} \frac{4x^2}{x^3-1}= \lim \limits_{x \to +-\infty} \frac{4}{x-1/x^2}= \frac{4}{+-\infty} = 0[/m]
f(x) = 0 – горизонтальная асимптота, ось Ox.

6. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.
Экстремумы – это точки, в которых 1 производная равна 0 или не существует.
[m]y'(x) = \frac{8x(x^3-1) - 4x^2(3x^2)}{(x^3-1)^2} = \frac{8x^4-8x - 12x^4}{(x^3-1)^2} = \frac{-4x^4 - 8x}{(x^3-1)^2} = \frac{-4x(x^3 + 2)}{(x^3-1)^2} = 0[/m]
[m]x1 = -\sqrt[3]{2} < 0; y(-\sqrt[3]{2}) = \frac{4(-\sqrt[3]{2})^2}{-2-1} = \frac{4\sqrt[3]{4}}{-3} < 0[/m]
[m]x2 = 0; y(0) = 0[/m]

Интервалы возрастания и убывания.
При x < –³√2 будет [m]y' = \frac{-4x(x^3 + 2)}{(x^3-1)^2} < 0[/m] – функция убывает
При x ∈ (–³√2; 0) будет [m]y' = \frac{-4x(x^3 + 2)}{(x^3-1)^2} > 0[/m] – функция возрастает
При x ∈ (0; 1) будет [m]y' = \frac{-4x(x^3 + 2)}{(x^3-1)^2} < 0[/m] – функция убывает
При x > 1 будет [m]y' = \frac{-4x(x^3 + 2)}{(x^3-1)^2} < 0[/m] – функция убывает
x1 = –³√2 – точка минимума, x2 = 0 – точка максимума.

7. Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
Перегибы – это точки, в которых 2 производная равна 0 или не существует.
[m]y' = \frac{-4x(x^3 + 2)}{(x^3-1)^2} = \frac{-4x^4 - 8x)}{(x^3-1)^2}[/m]
[m]y'' = \frac{(-16x^3-8)(x^3-1)^2 - (-4x^4 - 8x) \cdot 2(x^3-1) \cdot 3x^2}{(x^3-1)^4} = \frac{(-16x^3-8)(x^3-1) - (-4x^4 - 8x) \cdot 2 \cdot 3x^2}{(x^3-1)^3} =[/m]
[m]=\frac{-16x^6-8x^3+16x^3 + 8 +24x^6 + 48x^3}{(x^3-1)^3}=\frac{8x^6+56x^3 + 8}{(x^3-1)^3} = \frac{8(x^6+7x^3 + 1)}{(x^3-1)^3} = 0[/m]
x⁶+7x³ + 1 = 0
Замена t = x³
t² + 7t + 1 = 0
D = 49 – 4 = 45
t1 = (–7 – √45)/2; x1 = ³√(–7 – √45)/2
t2 = (–7 + √45)/2; x2 = ³√(–7 + √45)/2
Интервалы выпуклости и вогнутости сами считайте, у меня уже сил нет.

8. Построить схематический график функции, используя все полученные результаты.
График на рисунке.
Вертикальная асимптота показана.