Задача 79159 P — e oy | Найдите значения параметра...
Условие
Решение
[m]\ln (6a-x) \cdot \ln (2x+2a-2) - \ln (6a-x) \cdot \ln (x-a) = 0[/m]
[m]\ln (6a-x) \cdot (\ln (2x+2a-2) - \ln (x-a)) = 0[/m]
Если произведение равно 0, то один из множителей равен 0.
1) ln (6a - x) = 0
6a - x = 1
x1 = 6a - 1
2) ln (2x + 2a - 2) - ln (x - a) = 0
ln (2x + 2a - 2) = ln (x - a)
Так как логарифмы равны и их основания одинаковы, то и выражения равны:
2x + 2a - 2 = x - a
2x - x = -a - 2a + 2
x2 = 2 - 3a
Один из этих корней должен попадать в промежуток [0; 2]
1) x1 = 6a - 1 ∈ [0; 2]
Найдем, в каком промежутке находится параметр а. Прибавим 1:
x1 + 1 = 6a ∈ [1; 3]
Разделим на 6:
a ∈ [1/6; 3/6]
a ∈ [1/6; 1/2]
При этом второй корень x2 = 2 - 3a не должен попадать в промежуток [0; 2]
Умножим на -1, при этом промежуток становится противоположным:
-a ∈ [-1/2; -1/6]
Умножаем на 3:
-3a ∈ [-3/2; -3/6]
-3a ∈ [-3/2; -1/2]
Прибавляем 2:
x2 = 2 - 3a ∈ [2 - 3/2; 2 - 1/2]
x2 ∈ [1/2; 3/2] ⊂ [0; 2]
Получается - если x1 ∈ [0; 2], то x2 ∈ [0; 2].
То есть оба корня попадают в этот промежуток. Значит, этот вариант нам не подходит.
2) x2 = 2 - 3a ∈ [0; 2]
Вычитаем 2:
x - 2 = -3a ∈ [-2; 0]
Умножим на -1, при этом промежуток становится противоположным:
3a ∈ [0; 2]
Делим на 3:
a ∈ [0; 2/3]
При этом второй корень x1 = 6a - 1 не должен попадать в промежуток [0; 2]
Умножаем а на 6:
6a ∈ [0; 4]
Вычитаем 1:
x1 = 6a - 1 ∈ [-1; 3]
Из этого отрезка нужно вырезать промежуток [0; 2]
x1 = 6a - 1 ∈ [-1; 0) U (2; 3]
Прибавляем 1:
x1 + 1 = 6a ∈ [0; 1) U (3; 4]
Делим на 6:
a ∈ [0; 1/6) U (1/2; 2/3]
Тогда найдем второй корень x2 = 2 - 3a
Умножаем а на 3:
3a ∈ [0; 3/6) U (3/2; 2]
3a ∈ [0; 1/2) U (3/2; 2]
Умножим на -1, при этом промежуток становится противоположным:
-3a ∈ [-2; -3/2) U (-1/2; 0]
Прибавляем 2:
x2 = 2 - 3a ∈ [0; 1/2) U (3/2; 2]
Ответ: a ∈ [0; 1/6) U (1/2; 2/3]