Задача 79159 P — e oy | Найдите значения параметра...

tas

10 января 2025 г. в 03:16

P — e oy | Найдите значения параметра а, при каждом из которых на отрезке [0:2] уравнение ш (ба–х)–1п (2х + 2а – 2) = @ (ба – х)–Шш(х —а) имеет ровно один корень

Удачник66

10 января 2025 г. в 09:45

★

$\ln (6a-x) \cdot \ln (2x+2a-2) = \ln (6a-x) \cdot \ln (x-a)$
$\ln (6a-x) \cdot \ln (2x+2a-2) - \ln (6a-x) \cdot \ln (x-a) = 0$
$\ln (6a-x) \cdot (\ln (2x+2a-2) - \ln (x-a)) = 0$
Если произведение равно 0, то один из множителей равен 0.
1) ln (6a – x) = 0
6a – x = 1
x1 = 6a – 1

2) ln (2x + 2a – 2) – ln (x – a) = 0
ln (2x + 2a – 2) = ln (x – a)
Так как логарифмы равны и их основания одинаковы, то и выражения равны:
2x + 2a – 2 = x – a
2x – x = –a – 2a + 2
x2 = 2 – 3a

Один из этих корней должен попадать в промежуток [0; 2]
1) x1 = 6a – 1 ∈ [0; 2]
Найдем, в каком промежутке находится параметр а. Прибавим 1:
x1 + 1 = 6a ∈ [1; 3]
Разделим на 6:
a ∈ [1/6; 3/6]
a ∈ [1/6; 1/2]
При этом второй корень x2 = 2 – 3a не должен попадать в промежуток [0; 2]
Умножим на –1, при этом промежуток становится противоположным:
–a ∈ [–1/2; –1/6]
Умножаем на 3:
–3a ∈ [–3/2; –3/6]
–3a ∈ [–3/2; –1/2]
Прибавляем 2:
x2 = 2 – 3a ∈ [2 – 3/2; 2 – 1/2]
x2 ∈ [1/2; 3/2] ⊂ [0; 2]
Получается – если x1 ∈ [0; 2], то x2 ∈ [0; 2].
То есть оба корня попадают в этот промежуток. Значит, этот вариант нам не подходит.

2) x2 = 2 – 3a ∈ [0; 2]
Вычитаем 2:
x – 2 = –3a ∈ [–2; 0]
Умножим на –1, при этом промежуток становится противоположным:
3a ∈ [0; 2]
Делим на 3:
a ∈ [0; 2/3]
При этом второй корень x1 = 6a – 1 не должен попадать в промежуток [0; 2]
Умножаем а на 6:
6a ∈ [0; 4]
Вычитаем 1:
x1 = 6a – 1 ∈ [–1; 3]
Из этого отрезка нужно вырезать промежуток [0; 2]
x1 = 6a – 1 ∈ [–1; 0) U (2; 3]
Прибавляем 1:
x1 + 1 = 6a ∈ [0; 1) U (3; 4]
Делим на 6:
a ∈ [0; 1/6) U (1/2; 2/3]
Тогда найдем второй корень x2 = 2 – 3a
Умножаем а на 3:
3a ∈ [0; 3/6) U (3/2; 2]
3a ∈ [0; 1/2) U (3/2; 2]
Умножим на –1, при этом промежуток становится противоположным:
–3a ∈ [–2; –3/2) U (–1/2; 0]
Прибавляем 2:
x2 = 2 – 3a ∈ [0; 1/2) U (3/2; 2]

Ответ: a ∈ [0; 1/6) U (1/2; 2/3]