Задача 79124 Исследовать кривую второго порядка и...

677a2db18d98915ef034619e

1/5/2025 2:35:19 PM

Исследовать кривую второго порядка и построить ее:

626fab9a354ab65fb2f43abb

1/5/2025 9:38:59 PM

★

-x^2 - y^2 + 4xy + 2x - 4y + 1 = 0
Нам нужно избавиться от слагаемого xy.
Для этого применяем такую замену:
{ x = x'*cos φ - y'*sin φ
{ y = x'*sin φ + y'*cos φ
Здесь (x'; y') - это новые оси координат, φ - угол поворота.
-(x'*cos φ - y'*sin φ)^2 - (x'*sin φ + y'*cos φ)^2 +
+ 4(x'*cos φ - y'*sin φ)(x'*sin φ + y'*cos φ) +
+ 2(x'*cos φ - y'*sin φ) - 4(x'*sin φ + y'*cos φ) + 1 = 0
Раскрываем скобки:
-x'^2*cos^2 φ + 2*x'*cos φ*y'*sin φ - y'^2*sin^2 φ -
- x'^2*sin^2 φ - 2*x'*sin φ*y'*cos φ - y'^2*cos^2 φ +
+ 4(x'^2*cos φ*sin φ - x'y'*sin^2 φ + x'y'*cos^2 φ - y'^2*sin φ*cos φ) +
+ 2x'*cos φ - 2y'*sin φ - 4x'*sin φ - 4y'*cos φ + 1 = 0
Приводим подобные и собираем отдельно x'^2, y'^2 и x'*y':
-x'^2*(cos^2 φ + sin^2 φ) - y'^2*(sin^2 φ + cos^2 φ) +
+ 4x'^2*cos φ*sin φ + 4x'y'*(cos^2 φ - sin^2 φ) - 4y'^2*sin φ*cos φ -
- x'*(4sin φ - 2cos φ) - y'*(2sin φ + 4cos φ) + 1 = 0
Еще собираем:
-x'^2*(1 - 4cos φ*sin φ) - y'^2*(1 + 4cos φ*sin φ) + 4x'y'*(cos^2 φ - sin^2 φ) +
- x'*(4sin φ - 2cos φ) - y'*(2sin φ + 4cos φ) + 1 = 0
Нам надо избавиться от слагаемого, содержащего x'*y'.
Приравниваем его к 0:
4x'y'*(cos^2 φ - sin^2 φ) = 0
cos^2 φ - sin^2 φ = 0
cos 2φ = 0
2φ = π/2
φ = π/4 - это угол поворота осей.
sin φ = sin π/4 = 1/sqrt(2) = sqrt(2)/2
cos φ = cos π/4 = 1/sqrt(2) = sqrt(2)/2
Подставляем в уравнение:
-x'^2*(1 - 4cos φ*sin φ) - y'^2*(1 + 4cos φ*sin φ) + 4x'y'*(cos^2 φ - sin^2 φ) +
- x'*(4sin φ - 2cos φ) - y'*(2sin φ + 4cos φ) + 1 = 0
Получаем:
-x'^2*(1 - 4*1/sqrt(2)*1/sqrt(2)) - y'^2*(1 + 4*1/sqrt(2)*1/sqrt(2)) + 4x'y'*0 -
- x'*(4*sqrt(2)/2 - 2*sqrt(2)/2) - y'*(2*sqrt(2)/2 + 4*sqrt(2)/2) + 1 = 0
Упрощаем:
-x'^2*(1 - 4/2) - y'^2*(1 + 4/2) - x'*sqrt(2) - y'*3sqrt(2) + 1 = 0
Решаем:
x'^2 - 3y'^2 - x'*sqrt(2) - y'*3sqrt(2) + 1 = 0
Выделяем полные квадраты:
(x'^2 - 2*x'*sqrt(2)/2 + (sqrt(2)/2)^2 - (sqrt(2)/2)^2) - 3(y'^2 + 2*y'*sqrt(2)/2 + (sqrt(2)/2)^2 - (sqrt(2)/2)^2) + 1 = 0
(x' - sqrt(2)/2)^2 - 3(y' + sqrt(2)/2)^2 - 1/2 + 3*1/2 + 1 = 0
(x' - sqrt(2)/2)^2 - 3(y' + sqrt(2)/2)^2 = -2
Делим всё уравнение на -2:
[m]\large -\frac{(x' - \sqrt{2}/2)^2}{2} + \frac{(y' + \sqrt{2}/2)^2}{2/3} = 1[/m]
Это вертикальная гипербола с центром A(sqrt(2)/2; -sqrt(2)/2) и полуосями a = sqrt(2); b = sqrt(2/3).
На рисунке она изображена. Новые оси (синие) правда повернуты на π/4 = 45°.
Истинная полуось b = sqrt(2/3) параллельна оси OY'. В старой системе OXY центр A(1; 0)