Задача 79124 Исследовать кривую второго порядка и...

677a2db18d98915ef034619e

5 января 2025 г. в 02:35

Исследовать кривую второго порядка и построить ее:

Удачник66

5 января 2025 г. в 09:38

★

–x² – y² + 4xy + 2x – 4y + 1 = 0
Нам нужно избавиться от слагаемого xy.
Для этого применяем такую замену:
{ x = x'·cos φ – y'·sin φ
{ y = x'·sin φ + y'·cos φ
Здесь (x'; y') – это новые оси координат, φ – угол поворота.
–(x'·cos φ – y'·sin φ)² – (x'·sin φ + y'·cos φ)² +
+ 4(x'·cos φ – y'·sin φ)(x'·sin φ + y'·cos φ) +
+ 2(x'·cos φ – y'·sin φ) – 4(x'·sin φ + y'·cos φ) + 1 = 0
Раскрываем скобки:
–x'²·cos² φ + 2·x'·cos φ·y'·sin φ – y'²·sin² φ –
– x'²·sin² φ – 2·x'·sin φ·y'·cos φ – y'²·cos² φ +
+ 4(x'²·cos φ·sin φ – x'y'·sin² φ + x'y'·cos² φ – y'²·sin φ·cos φ) +
+ 2x'·cos φ – 2y'·sin φ – 4x'·sin φ – 4y'·cos φ + 1 = 0
Приводим подобные и собираем отдельно x'², y'² и x'·y':
–x'²·(cos² φ + sin² φ) – y'²·(sin² φ + cos² φ) +
+ 4x'²·cos φ·sin φ + 4x'y'·(cos² φ – sin² φ) – 4y'²·sin φ·cos φ –
– x'·(4sin φ – 2cos φ) – y'·(2sin φ + 4cos φ) + 1 = 0
Еще собираем:
–x'²·(1 – 4cos φ·sin φ) – y'²·(1 + 4cos φ·sin φ) + 4x'y'·(cos² φ – sin² φ) +
– x'·(4sin φ – 2cos φ) – y'·(2sin φ + 4cos φ) + 1 = 0
Нам надо избавиться от слагаемого, содержащего x'·y'.
Приравниваем его к 0:
4x'y'·(cos² φ – sin² φ) = 0
cos² φ – sin² φ = 0
cos 2φ = 0
2φ = π/2
φ = π/4 – это угол поворота осей.
sin φ = sin π/4 = 1/√2 = √2/2
cos φ = cos π/4 = 1/√2 = √2/2
Подставляем в уравнение:
–x'²·(1 – 4cos φ·sin φ) – y'²·(1 + 4cos φ·sin φ) + 4x'y'·(cos² φ – sin² φ) +
– x'·(4sin φ – 2cos φ) – y'·(2sin φ + 4cos φ) + 1 = 0
Получаем:
–x'²·(1 – 4·1/√2·1/√2) – y'²·(1 + 4·1/√2·1/√2) + 4x'y'·0 –
– x'·(4·√2/2 – 2·√2/2) – y'·(2·√2/2 + 4·√2/2) + 1 = 0
Упрощаем:
–x'²·(1 – 4/2) – y'²·(1 + 4/2) – x'·√2 – y'·3√2 + 1 = 0
Решаем:
x'² – 3y'² – x'·√2 – y'·3√2 + 1 = 0
Выделяем полные квадраты:
(x'² – 2·x'·√2/2 + (√2/2)² – (√2/2)²) – 3(y'² + 2·y'·√2/2 + (√2/2)² – (√2/2)²) + 1 = 0
(x' – √2/2)² – 3(y' + √2/2)² – 1/2 + 3·1/2 + 1 = 0
(x' – √2/2)² – 3(y' + √2/2)² = –2
Делим всё уравнение на –2:
[m]\large -\frac{(x' - \sqrt{2}/2)^2}{2} + \frac{(y' + \sqrt{2}/2)^2}{2/3} = 1[/m]
Это вертикальная гипербола с центром A(√2/2; –√2/2) и полуосями a = √2; b = √2/3.
На рисунке она изображена. Новые оси (синие) правда повернуты на π/4 = 45°.
Истинная полуось b = √2/3 параллельна оси OY'. В старой системе OXY центр A(1; 0)