Задача 79114 ...

67795eec8d98915ef0346143

4 января 2025 г. в 04:24

Какой из ниже представленных равенств является общим решением дифференциального уравнения x(y²+25)=y`√x²+25

626fab9a354ab65fb2f43abb

4 января 2025 г. в 07:44

★

[m]x (y^2 + 25) = y' \sqrt{x^2 + 25}[/m]
[m]\frac{dy}{dx} \cdot \sqrt{x^2 + 25} = x (y^2 + 25)[/m]
Это уравнение с разделяющимися переменными.
[m]\frac{dy}{y^2 + 25} = \frac{x dx}{\sqrt{x^2 + 25}}[/m]
Осталось взять интегралы слева и справа.
Левый интеграл простой:
[m]\int \frac{dy}{y^2 + 25} = \frac{1}{5} \cdot arctg\ \frac{y}{5}[/m]
Правый интеграл чуть сложнее:
[m]\int \frac{x dx}{\sqrt{x^2 + 25}}[/m]
Это решается заменой: t = x² + 25; dt = 2x dx; x dx = 1/2·dt
[m]\int \frac{dt}{2\sqrt{t}} = \sqrt{t} + C = \sqrt{x^2 + 25} + C[/m]
Приравниваем левую и правую части:
[m]\frac{1}{5} \cdot arctg\ \frac{y}{5} = \sqrt{x^2 + 25} + C[/m]
Нам требуется выразить константу С.
[m]C = \frac{arctg\ (y/5)}{5} - \sqrt{x^2 + 25}[/m]

Ответ: 4)