Задача 79091 Даны координаты вершин треугольника ABC,...
Условие
1. Вычислить длину стороны BC;
2. Составить уравнение линии ВС;
3. Вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;
4. Составить уравнение этой высоты.
A (x1, y1) (-26, -23)
B (x2, y2) (-2, -30)
C (x3, y3) (-20, -6)
Решение
B (x2; y2) (–2; –30)
C (x3; y3) (–20; –6)
1) [m]|BC| = \sqrt{(x3-x2)^2 + (y3-y2)^2} = \sqrt{(-20+2)^2 + (-6+30)^2} =[/m]
[m] = \sqrt{(-18)^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30[/m]
[b]|BC| = 30[/b]
2) [m]\large (BC): \frac{x-x2}{x3-x2} = \frac{y-y2}{y3-y2}[/m]
[m]\large (BC): \frac{x+2}{-20+2} = \frac{y+30}{-6+30}[/m]
[m]\large (BC): \frac{x+2}{-18} = \frac{y+30}{24}[/m]
Можно левую и правую часть умножить на 6:
[m]\large (BC): \frac{x+2}{-3} = \frac{y+30}{4}[/m]
Это каноническое уравнение. Можно перевести в общее уравнение:
4(x + 2) = -3(y + 30)
4x + 8 = -3y - 90
[b](BC): 4x + 3y + 98 = 0[/b]
Или в уравнение с угловым коэффициентом:
[b](BC): y = -4/3*x - 98/3[/b]
3) Сначала составим уравнение высоты AH.
AH ⊥ BC, поэтому произведение угловых коэффициентов равно -1:
k1*k2 = -1
k1 = -4/3 - угловой коэффициент прямой (BC)
Отсюда k2 = 3/4 - угловой коэффициент прямой (AH).
И она проходит через точку A(x1; y1) = A(-26; -23)
Поэтому уравнение прямой (AH):
[m](AH): y - y1 = k2 \cdot (x - x1)[/m]
[m](AH): y + 23= \frac{3}{4} \cdot (x + 26)[/m]
4(y + 23) = 3(x + 26)
4y + 92 = 3x + 78
Переносим всё направо:
0 = 3x + 78 - 4y - 92
Приводим подобные и запишем в привычном виде:
[b](AH): 3x - 4y - 14 = 0[/b]
Теперь находим координаты H - точки пересечения (BC) и (AH).
{ 4x + 3y + 98 = 0
{ 3x - 4y - 14 = 0
Умножаем 1 уравнение на 4, а 2 уравнение на 3:
{ 16x + 12y + 392 = 0
{ 9x - 12y - 42 = 0
Складываем уравнения:
25x + 0y + 350 = 0
25x = -350
x = -14
Подставляем в любое уравнение в 1 системе:
4(-14) + 3y + 98 = 0
-56 + 3y + 98 = 0
3y + 42 = 0
3y = -42
y = -14
[b]H(-14; -14)[/b]
И наконец находим длину высоты:
[m]|AH| = \sqrt{(-14+26)^2 + (-14+23)^2} = [/m]
[m]= \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15[/m]
[b]|AH| = 15[/b]
4) Уравнение высоты AH мы уже составили:
[b](AH): 3x - 4y - 14 = 0[/b]