Задача 79091 Даны координаты вершин треугольника ABC,...

677148688d98915ef0345a14

29 декабря 2024 г. в 01:10

Даны координаты вершин треугольника ABC, требуется:
1. Вычислить длину стороны BC;
2. Составить уравнение линии ВС;
3. Вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;
4. Составить уравнение этой высоты.

A (x1, y1) (–26, –23)
B (x2, y2) (–2, –30)
C (x3, y3) (–20, –6)

626fab9a354ab65fb2f43abb

31 декабря 2024 г. в 01:51

★

A (x1; y1) (–26; –23)
B (x2; y2) (–2; –30)
C (x3; y3) (–20; –6)

1) [m]|BC| = \sqrt{(x3-x2)^2 + (y3-y2)^2} = \sqrt{(-20+2)^2 + (-6+30)^2} =[/m]
[m] = \sqrt{(-18)^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30[/m]
|BC| = 30

2) [m]\large (BC): \frac{x-x2}{x3-x2} = \frac{y-y2}{y3-y2}[/m]

[m]\large (BC): \frac{x+2}{-20+2} = \frac{y+30}{-6+30}[/m]

[m]\large (BC): \frac{x+2}{-18} = \frac{y+30}{24}[/m]
Можно левую и правую часть умножить на 6:
[m]\large (BC): \frac{x+2}{-3} = \frac{y+30}{4}[/m]
Это каноническое уравнение. Можно перевести в общее уравнение:
4(x + 2) = –3(y + 30)
4x + 8 = –3y – 90
(BC): 4x + 3y + 98 = 0
Или в уравнение с угловым коэффициентом:
(BC): y = –4/3·x – 98/3

3) Сначала составим уравнение высоты AH.
AH ⊥ BC, поэтому произведение угловых коэффициентов равно –1:
k1·k2 = –1
k1 = –4/3 – угловой коэффициент прямой (BC)
Отсюда k2 = 3/4 – угловой коэффициент прямой (AH).
И она проходит через точку A(x1; y1) = A(–26; –23)
Поэтому уравнение прямой (AH):
[m](AH): y - y1 = k2 \cdot (x - x1)[/m]
[m](AH): y + 23= \frac{3}{4} \cdot (x + 26)[/m]
4(y + 23) = 3(x + 26)
4y + 92 = 3x + 78
Переносим всё направо:
0 = 3x + 78 – 4y – 92
Приводим подобные и запишем в привычном виде:
(AH): 3x – 4y – 14 = 0

Теперь находим координаты H – точки пересечения (BC) и (AH).
{ 4x + 3y + 98 = 0
{ 3x – 4y – 14 = 0
Умножаем 1 уравнение на 4, а 2 уравнение на 3:
{ 16x + 12y + 392 = 0
{ 9x – 12y – 42 = 0
Складываем уравнения:
25x + 0y + 350 = 0
25x = –350
x = –14
Подставляем в любое уравнение в 1 системе:
4(–14) + 3y + 98 = 0
–56 + 3y + 98 = 0
3y + 42 = 0
3y = –42
y = –14
H(–14; –14)

И наконец находим длину высоты:
[m]|AH| = \sqrt{(-14+26)^2 + (-14+23)^2} = [/m]
[m]= \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15[/m]
|AH| = 15

4) Уравнение высоты AH мы уже составили:
(AH): 3x – 4y – 14 = 0