Задача 79082 Найти базис и размерность...
Условие
однородной системы линейных уравнений.
Решение
[m]\begin{vmatrix}
3 & 2 & -3 \\
2 & -3 & 1 \\
5 & -1 & -2 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 3(-3)(-2) + (-3)*2(-1) + 5*2*1 - (-3)(-3)*5 - 3*1(-1) - (-2)*2*2 =
= 18 + 6 + 10 - 45 + 3 + 8 = 34 - 45 + 11 = 0
Найдем какой-нибудь минор 2 порядка:
[m]\begin{vmatrix}
3 & 2 \\
2 & -3 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 3(-3) - 2*2 = -9 - 4 = -13 ≠ 0
Размерность этой системы равна 2.
Чтобы найти базис, решаем систему методом Гаусса.
[m]\begin{pmatrix}
3 & 2 & -3 & | & 0 \\
2 & -3 & 1 & | & 0 \\
5 & -1 & -2 & | & 0 \\
\end{pmatrix}[/m]
Складываем 1 и 2 строки, записываем результат во 2 строку:
[m]\begin{pmatrix}
3 & 2 & -3 & | & 0 \\
5 & -1 & -2 & | & 0 \\
5 & -1 & -2 & | & 0 \\
\end{pmatrix}[/m]
2 и 3 строки получились одинаковыми, одну можно выкинуть:
[m]\begin{pmatrix}
3 & 2 & -3 & | & 0 \\
5 & -1 & -2 & | & 0 \\
\end{pmatrix}[/m]
Умножаем 1 строку на 5, а 2 строку на -3 и складываем строки:
[m]\begin{pmatrix}
3 & 2 & -3 & | & 0 \\
0 & 13 & -9 & | & 0 \\
\end{pmatrix}[/m]
Возвращаемся к системе с новыми коэффициентами:
{ 3x + 2y - 3z = 0
{ 0x + 13y - 9z = 0
Из 2 уравнения:
13y = 9z
y = 9/13*z
Подставляем в 1 уравнение:
3x + 2*9/13*z - 3z = 0
3x + 18/13*z - 39/13*z = 0
3x = 39/13*z - 18/13*z
3x = 21/13*z
x = 7/13*z
Ответ: Размерность системы равна 2.
Базис: z ∈ (-oo; +oo); y = 9/13*z; x = 7/13*z