Задача 79082 Найти базис и размерность...

Макар_418849545

27 декабря 2024 г. в 10:51

Найти базис и размерность подпространства решений
однородной системы линейных уравнений.

Удачник66

27 декабря 2024 г. в 05:20

★

Найдем главный определитель:
[m]\begin{vmatrix}
3 & 2 & -3 \\
2 & -3 & 1 \\
5 & -1 & -2 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 3(–3)(–2) + (–3)·2(–1) + 5·2·1 – (–3)(–3)·5 – 3·1(–1) – (–2)·2·2 =
= 18 + 6 + 10 – 45 + 3 + 8 = 34 – 45 + 11 = 0
Найдем какой–нибудь минор 2 порядка:
[m]\begin{vmatrix}
3 & 2 \\
2 & -3 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 3(–3) – 2·2 = –9 – 4 = –13 ≠ 0
Размерность этой системы равна 2.
Чтобы найти базис, решаем систему методом Гаусса.
[m]\begin{pmatrix}
3 & 2 & -3 & | & 0 \\
2 & -3 & 1 & | & 0 \\
5 & -1 & -2 & | & 0 \\
\end{pmatrix}[/m]
Складываем 1 и 2 строки, записываем результат во 2 строку:
[m]\begin{pmatrix}
3 & 2 & -3 & | & 0 \\
5 & -1 & -2 & | & 0 \\
5 & -1 & -2 & | & 0 \\
\end{pmatrix}[/m]
2 и 3 строки получились одинаковыми, одну можно выкинуть:
[m]\begin{pmatrix}
3 & 2 & -3 & | & 0 \\
5 & -1 & -2 & | & 0 \\
\end{pmatrix}[/m]
Умножаем 1 строку на 5, а 2 строку на –3 и складываем строки:
[m]\begin{pmatrix}
3 & 2 & -3 & | & 0 \\
0 & 13 & -9 & | & 0 \\
\end{pmatrix}[/m]
Возвращаемся к системе с новыми коэффициентами:
{ 3x + 2y – 3z = 0
{ 0x + 13y – 9z = 0
Из 2 уравнения:
13y = 9z
y = 9/13·z
Подставляем в 1 уравнение:
3x + 2·9/13·z – 3z = 0
3x + 18/13·z – 39/13·z = 0
3x = 39/13·z – 18/13·z
3x = 21/13·z
x = 7/13·z

Ответ: Размерность системы равна 2.
Базис: z ∈ (–oo; +oo); y = 9/13·z; x = 7/13·z