Задача 79065 Доброго времени суток, не могу решить, ...
Условие
Решение
а) Чтобы перевести число в тригонометрическую форму, нужно найти его модуль и аргумент.
|z| = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt((-1)^2 + 3) = sqrt(4) = 2
arg z = φ
tg φ = b/a = sqrt(3)/(-1) = -sqrt(3)
z = |z|*(cos φ + i*sin φ) = 2(-1/2 + i*sqrt(3)/2)
cos φ > 0, sin φ < 0, поэтому угол φ находится во 2 четверти.
φ = 2π/3
Получаем:
z = -1 + i*sqrt(3) = 2*(cos(2π/3) + i*sin(2π/3))
б) Чтобы найти z^5, воспользуемся формулой Муавра для степеней:
z^5 = |z|^5*(cos(5φ) + i*sin(5φ))
(-1 + i*sqrt(3))^5 = 2^5*(cos(10π/3) + i*sin(10π/3)) = 32*(cos(10π/3) + i*sin(10π/3))
Можно оставить так, а можно вычислить:
(-1 + i*sqrt(3))^5 = 32*(-cos(π/3) - i*sin(π/3)) = 32*(-1/2 - i*sqrt(3)/2) = -16 - i*16sqrt(3)
в) Чтобы найти [m]\sqrt[4]{z}[/m], воспользуемся формулой Муавра для корней:
[m]\sqrt[4]{z} = \sqrt[4]{|z|} \bigg ( \cos \frac{\phi + 2\pi \cdot k}{4} + i \cdot \sin \frac{\phi + 2\pi \cdot k}{4} \bigg )[/m]
[m]\sqrt[4]{-1 + i \sqrt{3}} = \sqrt[4]{2} \bigg ( \cos \frac{2\pi /3 + 2\pi \cdot k}{4} + i \cdot \sin \frac{2\pi /3 + 2\pi \cdot k}{4} \bigg ) =[/m]
[m]= \sqrt[4]{2} \bigg ( \cos \frac{2\pi + 6\pi \cdot k}{12} + i \cdot \sin \frac{2\pi + 6\pi \cdot k}{12} \bigg )[/m], где k = 0, 1, 2, 3.
4 значения корня 4 степени:
[m]k = 0:\ \ \sqrt[4]{-1 + i \sqrt{3}} = \sqrt[4]{2} \bigg ( \cos \frac{2\pi}{12} + i \cdot \sin \frac{2\pi}{12} \bigg ) = \sqrt[4]{2} \bigg ( \frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2} \bigg )[/m]
[m]k = 1:\ \ \sqrt[4]{-1 + i \sqrt{3}} = \sqrt[4]{2} \bigg ( \cos \frac{8\pi}{12} + i \cdot \sin \frac{8\pi}{12} \bigg ) = \sqrt[4]{2} \bigg ( \frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \bigg )[/m]
[m]k = 2:\ \ \sqrt[4]{-1 + i \sqrt{3}} = \sqrt[4]{2} \bigg ( \cos \frac{14\pi}{12} + i \cdot \sin \frac{14\pi}{12} \bigg ) = \sqrt[4]{2} \bigg ( -\frac{\sqrt{3}}{2} - i \cdot \frac{1}{2} \bigg )[/m]
[m]k = 3:\ \ \sqrt[4]{-1 + i \sqrt{3}} = \sqrt[4]{2} \bigg ( \cos \frac{20\pi}{12} + i \cdot \sin \frac{20\pi}{12} \bigg ) = \sqrt[4]{2} \bigg ( -\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \bigg )[/m]