Задача 79065 Доброго времени суток, не могу решить, ...

Dellock

25 декабря 2024 г. в 05:57

Доброго времени суток, не могу решить, чем быстрее тем лучше

626fab9a354ab65fb2f43abb

26 декабря 2024 г. в 02:47

★

z = –1 + i·√3

а) Чтобы перевести число в тригонометрическую форму, нужно найти его модуль и аргумент.
|z| = √a² + b² = √(–1)² + 3 = √4 = 2
arg z = φ
tg φ = b/a = √3/(–1) = –√3
z = |z|·(cos φ + i·sin φ) = 2(–1/2 + i·√3/2)
cos φ > 0, sin φ < 0, поэтому угол φ находится во 2 четверти.
φ = 2π/3
Получаем:
z = –1 + i·√3 = 2·(cos(2π/3) + i·sin(2π/3))

б) Чтобы найти z⁵, воспользуемся формулой Муавра для степеней:
z⁵ = |z|⁵·(cos(5φ) + i·sin(5φ))
(–1 + i·√3)⁵ = 2⁵·(cos(10π/3) + i·sin(10π/3)) = 32·(cos(10π/3) + i·sin(10π/3))
Можно оставить так, а можно вычислить:
(–1 + i·√3)⁵ = 32·(–cos(π/3) – i·sin(π/3)) = 32·(–1/2 – i·√3/2) = –16 – i·16√3

в) Чтобы найти [m]\sqrt[4]{z}[/m], воспользуемся формулой Муавра для корней:
[m]\sqrt[4]{z} = \sqrt[4]{|z|} \bigg ( \cos \frac{\phi + 2\pi \cdot k}{4} + i \cdot \sin \frac{\phi + 2\pi \cdot k}{4} \bigg )[/m]
[m]\sqrt[4]{-1 + i \sqrt{3}} = \sqrt[4]{2} \bigg ( \cos \frac{2\pi /3 + 2\pi \cdot k}{4} + i \cdot \sin \frac{2\pi /3 + 2\pi \cdot k}{4} \bigg ) =[/m]
[m]= \sqrt[4]{2} \bigg ( \cos \frac{2\pi + 6\pi \cdot k}{12} + i \cdot \sin \frac{2\pi + 6\pi \cdot k}{12} \bigg )[/m], где k = 0, 1, 2, 3.
4 значения корня 4 степени:
[m]k = 0:\ \ \sqrt[4]{-1 + i \sqrt{3}} = \sqrt[4]{2} \bigg ( \cos \frac{2\pi}{12} + i \cdot \sin \frac{2\pi}{12} \bigg ) = \sqrt[4]{2} \bigg ( \frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2} \bigg )[/m]
[m]k = 1:\ \ \sqrt[4]{-1 + i \sqrt{3}} = \sqrt[4]{2} \bigg ( \cos \frac{8\pi}{12} + i \cdot \sin \frac{8\pi}{12} \bigg ) = \sqrt[4]{2} \bigg ( \frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \bigg )[/m]
[m]k = 2:\ \ \sqrt[4]{-1 + i \sqrt{3}} = \sqrt[4]{2} \bigg ( \cos \frac{14\pi}{12} + i \cdot \sin \frac{14\pi}{12} \bigg ) = \sqrt[4]{2} \bigg ( -\frac{\sqrt{3}}{2} - i \cdot \frac{1}{2} \bigg )[/m]
[m]k = 3:\ \ \sqrt[4]{-1 + i \sqrt{3}} = \sqrt[4]{2} \bigg ( \cos \frac{20\pi}{12} + i \cdot \sin \frac{20\pi}{12} \bigg ) = \sqrt[4]{2} \bigg ( -\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \bigg )[/m]