Задача 78983 Нужно только ответ , без решения ...
Условие
Решение
{ 5x + 5y + 5z + 4u = -1
{ 13x + 16y + 15z - u = -22
{ 4x + 0y + z + 0u = 7
{ 11x + 6y + 7z - 9u = -6
{ -4x - 11y - 9z + 5u = 28
Поменяем местами уравнения, от этого решение не меняется.
{ 4x + 0y + z + 0u = 7
{ -4x - 11y - 9z + 5u = 28
{ 5x + 5y + 5z + 4u = -1
{ 11x + 6y + 7z - 9u = -6
{ 13x + 16y + 15z - u = -22
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
[m]\begin{pmatrix}
4 & 0 & 1 & 0 & | & 7 \\
-4 & -11 & -9 & 5 & | & 28 \\
5 & 5 & 5 & 4 & | & -1 \\
11 & 6 & 7 & -9 & | & -6 \\
13 & 16 & 15 & -1 & | -22 \\
\end{pmatrix}[/m]
Складываем 1 и 2 строки, результат записываем во 2 строку.
1 строку умножаем на 5, 3 строку умножаем на -4 и складываем их.
1 строку умножаем на 11, 4 строку умножаем на -4 и складываем их.
1 строку умножаем на 13, 5 строку умножаем на -4 и складываем их.
[m]\begin{pmatrix}
4 & 0 & 1 & 0 & | & 7 \\
0 & -11 & -8 & 5 & | & 35 \\
0 & -20 & -15 & -16 & | & 39 \\
0 & -24 & -17 & 36 & | & 101 \\
0 & -64 & -47 & 4 & | 179 \\
\end{pmatrix}[/m]
2 уравнение умножаем на 20, 3 уравнение умножаем на -11 и складываем их.
2 уравнение умножаем на 24, 4 уравнение умножаем на -11 и складываем их.
2 уравнение умножаем на 64, 5 уравнение умножаем на -11 и складываем их.
[m]\begin{pmatrix}
4 & 0 & 1 & 0 & | & 7 \\
0 & -11 & -8 & 5 & | & 35 \\
0 & 0 & 5 & 276 & | & 271 \\
0 & 0 & -5 & -276 & | & -271 \\
0 & 0 & 5 & 276 & | & 271 \\
\end{pmatrix}[/m]
Три последних строки одинаковы с точностью до знака, можно две из них убрать.
[m]\begin{pmatrix}
4 & 0 & 1 & 0 & | & 7 \\
0 & -11 & -8 & 5 & | & 35 \\
0 & 0 & 5 & 276 & | & 271 \\
\end{pmatrix}[/m]
Поэтому ранг расширенной матрицы равен 3.
Система compatible (совместна).
Решаем систему. Запишем её в виде уравнений:
{ 4x + 0y + z + 0u = 7
{ 0x - 11y - 8z + 5u = 35
{ 0x + 0y + 5z + 276u = 271
Из последнего уравнения u - любое число.
[m]z = \frac{271 - 276u}{5}[/m]
Подставляем z во 2 уравнение:
[m]-11y - 8 \cdot \frac{271 - 276u}{5} + 5u = 35[/m]
Выразим все числа в дробях со знаменателем 5:
[m]-\frac{55y}{5} + \frac{-2168 + 2208u}{5} + \frac{25u}{5} = \frac{175}{5}[/m]
Умножаем всё уравнение на 5, избавляемся от дробей:
[m]-55y - 2168 + 2208u + 25u = 175[/m]
[m]-55y = 2343 - 2233u[/m]
Делим всё уравнение на 11:
[m]-5y = 213 - 203u[/m]
[m]y = \frac{213 - 203u}{-5}[/m]
[m]y = \frac{203u - 213}{5}[/m]
Подставляем z в 1 уравнение:
[m]4x + \frac{271 - 276u}{5} = 7[/m]
Выразим все числа в дробях со знаменателем 5:
[m]\frac{20x}{5} + \frac{271 - 276u}{5} = \frac{35}{5}[/m]
Умножаем всё уравнение на 5, избавляемся от дробей:
[m]20x + 271 - 276u = 35[/m]
[m]20x = 276u - 236[/m]
Делим всё уравнение на 4:
[m]5x = 69u - 59[/m]
[m]x = \frac{69u - 59}{5}[/m]
Ответ: u ∈ (-oo; +oo). Можно написать u ∈ R.
x = (69u - 59)/5
y = (203u - 213)/5
z = (271 - 276u)/5
Можно взять, например, u = 1, тогда:
x = (69 - 59)/5 = 10/5 = 2
y = (203 - 213)/5 = -10/5 = -2
z = (271 - 276)/5 = -5/5 = -1