Задача 78976 ...

REDROOM

15 декабря 2024 г. в 08:22

сторона правильного треугольника равна 10√3 см. Точка K равноудалена от каждой стороны треугольника на 13 см. Найдите расстояние от точки K до плоскости треугольника

Удачник66

16 декабря 2024 г. в 08:48

★

Смотрите рисунок. Конечно, он кривоватый, рисовать я не умею, но думаю, всё понятно.
Дан треугольник ABC, его стороны AB = BC = AC = 10√3 см.
Дана точка K, которая равноудалена от всех сторон треугольника:
|KM| = |KN| = |KP| = 13 см

Найти расстояние от К до плоскости треугольника.

Решение. Проверим, не лежит ли точка К в плоскости треугольника.
Тогда она должна совпадать с точкой О – центром вписанной окружности.
Формула радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник:
$\large r = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{10 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{10 \cdot 3}{6} = 5$ см
|OM| = |ON| = |OP| = r = 5 см
5 < 13, значит, точка K лежит вне плоскости и нам надо найти расстояние |KO|.
Но треугольники KOM, KON, KOP – прямоугольные. По теореме Пифагора:
$|KO|^2 = |KM|^2 - |OM|^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$|KO| = \sqrt{144} = 12$ см

Ответ: 12 см

874750663

16 декабря 2024 г. в 08:25

a = 10√3 см (Дано)

r = a√3 / 6 (Формула радиуса вписанной окружности правильного треугольника)

r = (10√3 см)√3 / 6 = 5 см (Подстановка и вычисление радиуса)

d = h – r (где d – искомое расстояние, h – расстояние от точки K до плоскости, проходящей через центр вписанной окружности)

h = 13 см (Дано: расстояние от точки K до каждой стороны)

d = 13 см – 5 см = 8 см (Подстановка и вычисление искомого расстояния)