Задача 78967 Найдите предел последовательности...

nuts_b

15 декабря 2024 г. в 11:39

Найдите предел последовательности

Удачник66

15 декабря 2024 г. в 11:58

★

$\lim \limits_{n \to \infty} (\frac{8n^2+5n-10}{4n^3+3n^2-2n+8} + 3 \cdot \sqrt{\frac{n+1}{n-3}})$
Свойства пределов:
lim (f(n) + g(n)) = lim f(n) + lim g(n)
lim a·f(n) = a·lim f(n)
lim √f(n) = √lim f(n)
Поэтому этот предел распадается на сумму пределов:
$\lim \limits_{n \to \infty} \frac{8n^2+5n-10}{4n^3+3n^2-2n+8} + 3 \cdot \sqrt{\lim \limits_{n \to \infty}\frac{n+1}{n-3}}$
Дальше, чтобы найти предел дроби, нужно числитель и знаменатель разделить на n в высшей степени. В 1 пределе это n³, во 2 пределе это n.
$\lim \limits_{n \to \infty} \frac{8/n+5/n^2-10/n^3}{4+3/n-2/n^2+8/n^3} + 3 \cdot \sqrt{\lim \limits_{n \to \infty}\frac{1+1/n}{1-3/n}}$
При $n \to \infty$ все маленькие дроби стремятся к 0.
$\frac{0+0-0}{4+0-0+0} + 3 \cdot \sqrt{\frac{1+0}{1-0}} = \frac{0}{4} + 3 \cdot \sqrt{\frac{1}{1}} = 0 + 3 = 3$

Ответ: 3