Задача 78956 Решите неравенства...

Aru1000

13 декабря 2024 г. в 10:29

Решите неравенства

Удачник66

13 декабря 2024 г. в 12:14

★

1) [m]6^{x} + \bigg (\frac{1}{6} \bigg )^{x} > 2[/m]
[m]6^{x} + \frac{1}{6^{x}} > 2[/m]
Замена y = 6^x > 0 при любом значении x.
y + 1/y > 2
y + 1/y – 2 > 0
Так как y ≠ 0, можно умножить на y:
y² – 2y + 1 . 0
(y – 1)² > 0
Квадрат всегда неотрицательный, поэтому это неравенство верно при любом
y > 0, кроме y = 1
y ≠ 1
6^x ≠ 1
x ≠ 0
Ответ: x ∈ (–oo; 0) U (0; +oo)

2) [m]2^{x^2} ≤ 4 \cdot 2^{x}[/m]
[m]2^{x^2} - 4 \cdot 2^{x} ≤ 0[/m]
Замена y = 2^x > 0 при любом значении x.
y² – 4y ≤ 0
y(y – 4) ≤ 0
y ∈ [0; 4]
Но по определению степени y = 2^x > 0, поэтому:
y ∈ (0; 4]
2^x ∈ (0; 4]
Ответ: x ∈ (–oo; 2]

3) [m]25^{x} + 5^{x+1} + 5^{1-x} + \frac{1}{25^{x}} ≤ 12 [/m]
Заметим, что:
25^x = (5²)^x = (5^x)²
5^x+1 = 5·5^x; 5^1–x = 5·5^–x = 5/5^x
Подставляем:
[m](5^{x})^2 + 5*5^{x} + \frac{5}{5^{x}} + \frac{1}{(5^{x})^2} ≤ 12[/m]
Замена y = 5^x > 0 при любом значении x.
[m]y^2 + 5y + \frac{5}{y} + \frac{1}{y^2} ≤ 12[/m]
[m]y^2 + 5(y + \frac{1}{y}) + \frac{1}{y^2} ≤ 12[/m]
Рассмотрим сумму (y + 1/y). Возведем ее в квадрат:
(y + 1/y)² = y² + 2·y·1/y + 1/y² = y² + 1/y² + 2
Тогда: y² + 1/y² = (y + 1/y)² – 2
Получаем:
[m](y + \frac{1}{y})^2 - 2 + 5(y + \frac{1}{y}) - 12 ≤ 0[/m]
Вторая замена: t = (y + 1/y)
Так как y > 0, то t ≥ 2 (смотрите 1 номер, поймете, почему.)
t² + 5t – 14 ≤ 0
D = 5² – 4·1(–14) = 25 + 56 = 81 = 9²
t1 = (–5 – 9)/2 = –7
t2 = (–5 + 9)/2 = 2
Решение: t ∈ [–7; 2], но мы знаем, что t ≥ 2.
Значит, это неравенство выполняется только при одном t = 2
Обратная замена:
y + 1/y = 2
y² – 2y + 1 = 0
(y – 1)² = 0
y = 1
Вторая обратная замена:
y = 5^x = 1
Ответ: x = 0

4) 2^x + 6·2^–x ≤ 7
[m]2^{x} + \frac{6}{2^{x}} ≤ 7[/m]
Замена y = 2^x > 0 при любом значении x.
y + 6/y – 7 ≤ 0
y² – 7y + 6 ≤ 0
D = (–7)² – 4·1·6 = 49 – 24 = 25 = 5²
y1 = (7 – 5)/2 = 2/2 = 1
y2 = (7 + 5)/2 = 12/2 = 6
Обратная замена:
y1 = 2^x1 = 1
x1 = 0
y2 = 2^x2 = 6
x2 = log₂ 6
Ответ: x1 = 0; x2 = log₂ 6

5) 3^x + 10·3^–x ≤ 11
[m]3^{x} + \frac{10}{3^{x}} ≤ 11[/m]
Замена y = 3^x > 0 при любом значении x.
y + 10/y – 11 ≤ 0
y² – 11y + 10 ≤ 0
D = (–11)² – 4·1·10 = 121 – 40 = 81 = 9²
y1 = (11 – 9)/2 = 2/2 = 1
y2 = (11 + 9)/2 = 20/2 = 10
Обратная замена:
y1 = 3^x1 = 1
x1 = 0
y2 = 3^x2 = 10
x2 = log₃ 10
Ответ: x1 = 0; x2 = log₃ 10