Задача 78955 Задачи 217-222...
Условие
Решение
Как известно, sin^2 a = 1 - cos^2 a
2(1 - cos^2 (πx/12)) + 3cos (πx/12) = 0
2 - 2cos^2 (πx/12) + 3cos (πx/12) = 0
Замена cos (πx/12) = y, получаем квадратное уравнение.
Заметим, что по области значений косинуса: y ∈ [-1; 1]
2 - 2y^2 + 3y = 0
Поменяем знаки в уравнении, чтобы y^2 был с плюсом:
2y^2 - 3y - 2 = 0
D = (-3)^2 - 4*2(-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2
y1 = (3 - 5)/4 = -2/4 = -1/2
y2 = (3 + 5)/4 = 8/4 = 2 - не подходит по области значений.
Обратная замена:
y = cos (πx/12) = -1/2
πx/12 = +-2π/3 + 2π*k, k ∈ Z
Делим на π:
x/12 = +-2/3 + 2*k, k ∈ Z
Умножаем на 12:
x = +-8 + 24*k, k ∈ Z
Наибольший отрицательный корень:
x = -8 при k = 0
218. 2sin^2 (πx/15) - 3cos (πx/15) = 0
2 - 2cos^2 (πx/15) - 3cos (πx/15) = 0
y = cos (πx/15)
2 - 2y^2 - 3y = 0
2y^2 + 3y - 2 = 0
D = 3^2 - 4*2(-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2
y1 = (-3 - 5)/4 = -8/4 = -2 - не подходит
y2 = (-3 + 5)/4 = 2/4 = 1/2
cos (πx/15) = 1/2
πx/15 = +-π/3 + 2π*k, k ∈ Z
x/15 = +-1/3 + 2*k, k ∈ Z
x = +- 5 + 30*k, k ∈ Z
Наибольший отрицательный корень:
x = -5 при k = 0
219. 2cos^2 (πx/3) + 5sin (πx/3) = 4
2 - 2sin^2 (πx/3) + 5sin (πx/3) - 4 = 0
Замена y = sin (πx/3)
-2y^2 + 5y - 2 = 0
2y^2 - 5y + 2 = 0
D = (-5)^2 - 4*2*2 = 25 - 16 = 9 = 3^2
y1 = (5 - 3)/4 = 2/4 = 1/2
y2 = (5 + 3)/4 = 8/4 = 2 - не подходит
sin (πx/3) = 1/2
πx/3 = (-1)^(n)*π/6 + π*n, n ∈ Z
x/3 = (-1)^(n)*1/6 + n, n ∈ Z
x = (-1)^(n)*1/2 + 3n, n ∈ Z
Наибольший отрицательный корень:
x = -1/2 - 3 = -3,5 при n = -1
220. 2cos^2 (πx/18) + 5sin (πx/18) = -1
2 - 2sin^2 (πx/18) + 5sin (πx/18) + 1 = 0
y = sin (πx/18)
-2y^2 + 5y + 3 = 0
2y^2 - 5y - 3 = 0
D = (-5)^2 - 4*2(-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2
y1 = (5 - 7)/4 = -2/4 = -1/2
y2 = (5 + 7)/4 = 12/4 = 3 - не подходит
sin (πx/18) = -1/2
πx/18 = (-1)^(n)*(-π/6) + π*n, n ∈ Z
x/18 = (-1)^(n)*(-1/6) + n, n ∈ Z
x = (-1)^(n)*(-3) + 18*n, n ∈ Z
Наибольший отрицательный корень:
x = -3 при n = 0
221. 10tg (πx) + ctg (πx) = 11
10tg (πx) + 1/tg (πx) - 11 = 0
Замена y = tg (πx)
Заметим, что y = tg (πx) может иметь любое значение.
10y + 1/y - 11 = 0
Очевидно, что y = tg (πx) ≠ 0.
Умножаем на y:
10y^2 - 11y + 1 = 0
D = (-11)^2 - 4*10*1 = 121 - 40 = 81 = 9^2
y1 = (11 - 9)/20 = 2/20 = 0,1
y2 = (11 + 9)/20 = 20/20 = 1
Обратная замена:
y1 = tg (πx1) = 0,1
πx1 = arctg (0,1) + π*k, k ∈ Z
x1 = arctg (0,1)/π + k, k ∈ Z ≈ 0,031 + k, k ∈ Z
y2 = tg (πx2) = 1
πx2 = arctg (1) + π*k, k ∈ Z
πx2 = π/4 + π*k, k ∈ Z
x2 = 1/4 + k, k ∈ Z = 0,25 + k, k ∈ Z
Наибольший отрицательный корень:
x = 1/4 - 1 = -0,75 при k = -1
222. 3tg (πx) + 5ctg (πx) + 8 = 0
3tg (πx) + 5/tg (πx) + 8 = 0
Замена y = tg (πx)
3y + 5/y + 8 = 0
3y^2 + 8y + 5 = 0
D = 8^2 - 4*3*5 = 64 - 60 = 4 = 2^2
y1 = (-8 - 2)/6 = -10/6 = -5/3
y2 = (-8 + 2)/6 = -6/6 = -1
Обратная замена:
y1 = tg (πx1) = -5/3
πx1 = arctg (-5/3) + π*k, k ∈ Z
πx1 = -arctg (5/3) + π*k, k ∈ Z
x1 = -arctg (5/3)/π + k, k ∈ Z ≈ -0,33 + k, k ∈ Z
y2 = tg (πx2) = -1
πx2 = arctg (-1) + π*k, k ∈ Z
πx2 = -π/4 + π*k, k ∈ Z
x2 = -1/4 + k, k ∈ Z = -0,25 + k, k ∈ Z
Наибольший отрицательный корень:
x = -1/4 = -0,25 при k = 0