Задача 78939 ...

674f0f02b5964965cc2d132c

12/3/2024 2:01:26 PM

2. Используя метод введения вспомогательного аргумента, найдите решение неравенства
cos2x +√3sin2x<-√3.

626fab9a354ab65fb2f43abb

12/3/2024 2:18:42 PM

[m]\cos x + \sqrt{3} \sin 2x < -\sqrt{3}[/m]
Разделим на 2 левую и правую части.
[m]\frac{1}{2} \cdot \cos 2x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin 2x < -\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
Заметим, что cos π/3 = 1/2; sin π/3 = sqrt(3)/2
[m]\cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos 2x + \sin \frac{\pi}{3} \cdot \sin 2x < -\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
Применим формулу:
cos a*cos b + sin a*sin b = cos (a - b) = cos (b - a)
[m]\cos (2x - \frac{\pi}{3}) < -\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
Вводим вспомогательный аргумент: t = 2x - π/3
[m]\cos t < -\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
Решение этого неравенства показано на рисунке.
t ∈ (5π/6 + 2π*k; 7π/6 + 2π*k), k ∈ Z
2x - π/3 ∈ (5π/6 + 2π*k; 7π/6 + 2π*k), k ∈ Z
2x ∈ (7π/6 + 2π*k; 9π/6 + 2π*k), k ∈ Z

Ответ: x ∈ (7π/12 + π*k; 9π/12 + π*k), k ∈ Z