Задача 78936 составить уравнение плоскости проходящей...

Friendly Thug

23 ноября 2024 г. в 09:09

составить уравнение плоскости проходящей через точку а(2,–1,3) и проходящую через прямую x+4/–5=y–2/4=z–1/3

admin

7 декабря 2024 г. в 01:10

★

Для решения задачи найдем уравнение плоскости, используя информацию о точке и прямой.

Дано:
1. Точка A с координатами $A(2, -1, 3)$.
2. Прямая, заданная параметрически: $\frac{x+4}{-5} = \frac{y-2}{4} = \frac{z-1}{3}$.

Решение:

1. Находим направление прямой:

Параметрическое уравнение прямой можно представить через параметр $t$:

$x = -5t - 4, \quad y = 4t + 2, \quad z = 3t + 1$

Направляющий вектор прямой $\mathbf{v}$ равен $(-5, 4, 3)$.

2. Находим точку на прямой:

При $t = 0$, точка на прямой $B$ будет:

$B(-4, 2, 1)$

3. Вектор, соединяющий точки A и B:

Вектор $\mathbf{AB}$ найден как разность координат:

$\mathbf{AB} = (B - A) = (-4 - 2, 2 + 1, 1 - 3) = (-6, 3, -2)$

4. Находим нормальный вектор к плоскости:

Нормальный вектор $\mathbf{n}$ к плоскости проходит через точку A и является векторным произведением векторов $\mathbf{v}$ и $\mathbf{AB}$:

$\mathbf{n} = \mathbf{v} \times \mathbf{AB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -5 & 4 & 3 \\ -6 & 3 & -2 \\ \end{vmatrix}$

Вычислим:

$\mathbf{n} = \mathbf{i}(4 \cdot (-2) - 3 \cdot 3) - \mathbf{j}(-5 \cdot (-2) - 3 \cdot (-6)) + \mathbf{k}(-5 \cdot 3 - 4 \cdot (-6))$

$= \mathbf{i}(-8 - 9) - \mathbf{j}(10 - (-18)) + \mathbf{k}(-15 + 24)$

$= \mathbf{i}(-17) - \mathbf{j}(10 + 18) + \mathbf{k}(9)$

$= (-17, -28, 9)$

5. Уравнение плоскости:

Уравнение плоскости, проходящей через точку $A(x_0, y_0, z_0)$ и имеющей нормальный вектор $(a, b, c)$, задается формулой:

$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$

Подставляем нормальный вектор и точку $A(2, -1, 3)$:

$-17(x - 2) - 28(y + 1) + 9(z - 3) = 0$

Раскрываем скобки:

$-17x + 34 - 28y - 28 + 9z - 27 = 0$

$-17x - 28y + 9z + (34 - 28 - 27) = 0$

$-17x - 28y + 9z - 21 = 0$

Итак, уравнение плоскости имеет вид:

$-17x - 28y + 9z = 21$

Ответ:
Уравнение плоскости: $-17x - 28y + 9z = 21$.

Михаил_494146264

24 ноября 2024 г. в 07:51

Ответ: 17x+28y–9z+21=0