Задача 78936 составить уравнение плоскости проходящей...
Условие
Решение
Дано:
1. Точка A с координатами [m] A(2, -1, 3) [/m].
2. Прямая, заданная параметрически: [m]\frac{x+4}{-5} = \frac{y-2}{4} = \frac{z-1}{3}[/m].
Решение:
1. Находим направление прямой:
Параметрическое уравнение прямой можно представить через параметр [m] t [/m]:
[m]
x = -5t - 4, \quad y = 4t + 2, \quad z = 3t + 1
[/m]
Направляющий вектор прямой [m] \mathbf{v} [/m] равен [m] (-5, 4, 3) [/m].
2. Находим точку на прямой:
При [m] t = 0 [/m], точка на прямой [m] B [/m] будет:
[m]
B(-4, 2, 1)
[/m]
3. Вектор, соединяющий точки A и B:
Вектор [m] \mathbf{AB} [/m] найден как разность координат:
[m]
\mathbf{AB} = (B - A) = (-4 - 2, 2 + 1, 1 - 3) = (-6, 3, -2)
[/m]
4. Находим нормальный вектор к плоскости:
Нормальный вектор [m] \mathbf{n} [/m] к плоскости проходит через точку A и является векторным произведением векторов [m] \mathbf{v} [/m] и [m] \mathbf{AB} [/m]:
[m]
\mathbf{n} = \mathbf{v} \times \mathbf{AB} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-5 & 4 & 3 \\
-6 & 3 & -2 \\
\end{vmatrix}
[/m]
Вычислим:
[m]
\mathbf{n} = \mathbf{i}(4 \cdot (-2) - 3 \cdot 3) - \mathbf{j}(-5 \cdot (-2) - 3 \cdot (-6)) + \mathbf{k}(-5 \cdot 3 - 4 \cdot (-6))
[/m]
[m]
= \mathbf{i}(-8 - 9) - \mathbf{j}(10 - (-18)) + \mathbf{k}(-15 + 24)
[/m]
[m]
= \mathbf{i}(-17) - \mathbf{j}(10 + 18) + \mathbf{k}(9)
[/m]
[m]
= (-17, -28, 9)
[/m]
5. Уравнение плоскости:
Уравнение плоскости, проходящей через точку [m] A(x_0, y_0, z_0) [/m] и имеющей нормальный вектор [m] (a, b, c) [/m], задается формулой:
[m]
a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0
[/m]
Подставляем нормальный вектор и точку [m] A(2, -1, 3) [/m]:
[m]
-17(x - 2) - 28(y + 1) + 9(z - 3) = 0
[/m]
Раскрываем скобки:
[m]
-17x + 34 - 28y - 28 + 9z - 27 = 0
[/m]
[m]
-17x - 28y + 9z + (34 - 28 - 27) = 0
[/m]
[m]
-17x - 28y + 9z - 21 = 0
[/m]
Итак, уравнение плоскости имеет вид:
[m]
-17x - 28y + 9z = 21
[/m]
Ответ:
Уравнение плоскости: [m]-17x - 28y + 9z = 21[/m].
Все решения
Ответ: 17x+28y–9z+21=0