Задача 78930 Из данной пропорции найти 2x+3y Вариант...
Условие
Вариант 30
Решение
Сочетания можно записать такой формулой:
[m]C^{m}_{n} = \frac{n!}{m!(n - m)!}[/m]
Соответственно:
[m]C^{y-1}_{x} = \frac{x!}{(y-1)!(x - y+1)!}[/m]
[m]C^{y}_{x} = \frac{x!}{y!(x - y)!}[/m]
[m]C^{y+1}_{x} = \frac{x!}{(y+1)!(x - y-1)!}[/m]
Из пропорций мы можем записать такие равенства:
[m]C^{y-1}_{x} = \frac{x!}{(y-1)!(x - y+1)!} = 3k[/m]
[m]C^{y}_{x} = \frac{x!}{y!(x - y)!} = 4k[/m]
[m]C^{y+1}_{x} = \frac{x!}{(y+1)!(x - y-1)!} = 3k[/m]
Из этого мы видим, что при m = y - 1 и при m = y + 1 количество сочетаний одинаковое, а при m = y оно больше.
Это значит, что x - четное число, и что y = x/2.
Например, при x = 4 будет такой ряд сочетаний:
[m]C^0_4 = 1;\ C^1_4 = 4;\ C^2_4 = 6;\ C^3_4 = 4;\ C^4_4 = 1[/m]
Тогда x = 2y, x - y = y, x - y + 1 = y + 1, x - y - 1 = y - 1.
Подставляем в наши форсмулы:
[m]C^{y-1}_{x} = \frac{(2y)!}{(y-1)!(y+1)!} = 3k[/m]
[m]C^{y}_{x} = \frac{(2y)!}{y!y!} = 4k[/m]
[m]C^{y+1}_{x} = \frac{(2y)!}{(y+1)!(y-1)!} = 3k[/m]
Поэтому 1 и 3 уравнения и получились одинаковыми.
Разделим одно число на другое:
[m]C^{y-1}_{x} : C^{y}_{x} = \frac{(2y)!}{(y-1)!(y+1)!} : \frac{(2y)!}{y!y!} = \frac{3}{4}[/m]
[m]\frac{(2y)!}{(y-1)!(y+1)!} \cdot \frac{y!y!}{(2y)!} = \frac{3}{4}[/m]
[m]\frac{y!y!}{(y-1)!(y+1)!} = \frac{3}{4}[/m]
[m]\frac{y!}{(y-1)!} \cdot \frac{y!}{(y+1)!} = \frac{3}{4}[/m]
Но, как известно, n! = (n - 1)!*n, поэтому:
[m]\frac{(y-1)! \cdot y}{(y-1)!} \cdot \frac{y!}{y!(y+1)} = \frac{3}{4}[/m]
[m]y \cdot \frac{1}{y+1} = \frac{3}{4}[/m]
[m]\frac{y}{y+1} = \frac{3}{4}[/m]
Отсюда y = 3, y + 1 = 4, x = 2y = 6
2x + 3y = 2*6 + 3*3 = 12 + 9 = 21
Ответ: 21