Задача 78930 Из данной пропорции найти 2x+3y Вариант...

Frost

10 декабря 2024 г. в 01:26

Из данной пропорции найти 2x+3y
Вариант 30

Удачник66

10 декабря 2024 г. в 03:31

★

$C^{y+1}_{x} : C^{y}_{x} : C^{y-1}_{x} = 3 : 4 : 3$
Сочетания можно записать такой формулой:
$C^{m}_{n} = \frac{n!}{m!(n - m)!}$
Соответственно:
$C^{y-1}_{x} = \frac{x!}{(y-1)!(x - y+1)!}$
$C^{y}_{x} = \frac{x!}{y!(x - y)!}$
$C^{y+1}_{x} = \frac{x!}{(y+1)!(x - y-1)!}$
Из пропорций мы можем записать такие равенства:
$C^{y-1}_{x} = \frac{x!}{(y-1)!(x - y+1)!} = 3k$
$C^{y}_{x} = \frac{x!}{y!(x - y)!} = 4k$
$C^{y+1}_{x} = \frac{x!}{(y+1)!(x - y-1)!} = 3k$
Из этого мы видим, что при m = y – 1 и при m = y + 1 количество сочетаний одинаковое, а при m = y оно больше.
Это значит, что x – четное число, и что y = x/2.
Например, при x = 4 будет такой ряд сочетаний:
$C^0_4 = 1;\ C^1_4 = 4;\ C^2_4 = 6;\ C^3_4 = 4;\ C^4_4 = 1$

Тогда x = 2y, x – y = y, x – y + 1 = y + 1, x – y – 1 = y – 1.
Подставляем в наши форсмулы:
$C^{y-1}_{x} = \frac{(2y)!}{(y-1)!(y+1)!} = 3k$
$C^{y}_{x} = \frac{(2y)!}{y!y!} = 4k$
$C^{y+1}_{x} = \frac{(2y)!}{(y+1)!(y-1)!} = 3k$
Поэтому 1 и 3 уравнения и получились одинаковыми.
Разделим одно число на другое:
$C^{y-1}_{x} : C^{y}_{x} = \frac{(2y)!}{(y-1)!(y+1)!} : \frac{(2y)!}{y!y!} = \frac{3}{4}$
$\frac{(2y)!}{(y-1)!(y+1)!} \cdot \frac{y!y!}{(2y)!} = \frac{3}{4}$
$\frac{y!y!}{(y-1)!(y+1)!} = \frac{3}{4}$
$\frac{y!}{(y-1)!} \cdot \frac{y!}{(y+1)!} = \frac{3}{4}$
Но, как известно, n! = (n – 1)!·n, поэтому:
$\frac{(y-1)! \cdot y}{(y-1)!} \cdot \frac{y!}{y!(y+1)} = \frac{3}{4}$
$y \cdot \frac{1}{y+1} = \frac{3}{4}$
$\frac{y}{y+1} = \frac{3}{4}$
Отсюда y = 3, y + 1 = 4, x = 2y = 6

2x + 3y = 2·6 + 3·3 = 12 + 9 = 21

Ответ: 21