Задача 78929 Известны уравнения двух сторон ромба...

67581daa831a692094d3de14

12/10/2024 10:56:33 AM

Известны уравнения двух сторон ромба 7х-9у-39=0 и 3х+11у-91=0 и одной из его диагоналей 5х+у-13=0. Вычислить координаты вершин ромба

626fab9a354ab65fb2f43abb

12/10/2024 1:33:04 PM

★

Стороны ромба: 7x - 9y - 39 = 0 и 3x + 11y - 91 = 0
Диагональ ромба: 5x + y - 13 = 0

Смотрите рисунок.
Если бы эти стороны были параллельны друг другу, то их коэффициенты
при x и y были бы пропорциональны, но это не так.
7 : 3 ≠ -9 : 11
Значит, они пересекаются и мы можем найти первую вершину:
1 вершина A.
{ 7x - 9y - 39 = 0
{ 3x + 11y - 91 = 0
Умножаем 1 уравнение на 11, а 2 уравнение на 9:
{ 77x - 99y - 429 = 0
{ 27x + 99y - 819 = 0
Складываем уравнения:
104x + 0y - 1248 = 0
104x = 1248
x = 12
Подставляем в любое уравнение первой системы:
7*12 - 9y - 39 = 0
84 - 39 = 9y
9y = 45
y = 5
Итак, найдена [b]A(12, 5)[/b]

Проверяем, проходит ли заданная диагональ через эту точку:
5*12 + 5 - 13 = 60 + 5 - 13 = 52 ≠ 0
Значит, диагональ не проходит через вершину А.
Тогда она пересекается со сторонами и даёт еще две вершины:
2 вершина B.
{ 7x - 9y - 39 = 0
{ 5x + y - 13 = 0
Умножаем 2 уравнение на 9:
{ 7x - 9y - 39 = 0
{ 45x + 9y - 117 = 0
Складываем уравнения:
52x + 0y - 156 = 0
52x = 156
x = 3
Подставляем в любое уравнение первой системы:
5*3 + y - 13 = 0
y = 13 - 15 = -2
Итак, найдена [b]B(3, -2)[/b]

3 вершина D.
{ 3x + 11y - 91 = 0
{ 5x + y - 13 = 0
Умножаем 2 уравнение на -11:
{ 3x + 11y - 91 = 0
{ -55x - 11y + 143 = 0
Складываем уравнения:
-52x + 0y + 52 = 0
52x = 52
x = 1
Подставляем в любое уравнение первой системы:
3*1 + 11y - 91 = 0
3 + 11y - 91 = 0
11y = 88
y = 8
Итак, найдена [b]D(1, 8)[/b]


Чтобы найти 4 вершину C, нужно через т. B провести прямую BC || AD.
И еще через точку D провести прямую CD || AB. Они пересекутся в точке C.

Уравнения прямых через точку, параллельных другой прямой:
{ 3(x - 3) + 11(y + 2) = 0
{ 7(x - 1) - 9(y - 8) = 0
Раскрываем скобки:
{ 3x - 9 + 11y + 22 = 0
{ 7x - 7 - 9y + 72 = 0
Приводим подобные:
{ 3x + 11y + 13 = 0
{ 7x - 9y + 65 = 0
Умножаем 1 уравнение на 9, а 2 уравнение на 11:
{ 27x + 99y + 117 = 0
{ 77x - 99y + 715 = 0
Складываем уравнения:
104x + 832 = 0
104x = -832
x = -8
Подставляем в любое уравнение системы:
3(-8) + 11y + 13 = 0
-24 + 11y + 13 = 0
11y = 24 - 13 = 11
y = 1
Получили точку [b]C(-8; 1)[/b]
На рисунке она отмечена. Линии BC и CD проведены рыжим цветом.
И, как видим, в результате действительно получился ромб.

Ответ: A(12; 5); B(3; -2); C(-8; 1); D(1; 8)