Задача 78929 Известны уравнения двух сторон ромба...

Nurik

10 декабря 2024 г. в 10:56

Известны уравнения двух сторон ромба 7х–9у–39=0 и 3х+11у–91=0 и одной из его диагоналей 5х+у–13=0. Вычислить координаты вершин ромба

Удачник66

10 декабря 2024 г. в 01:33

★

Стороны ромба: 7x – 9y – 39 = 0 и 3x + 11y – 91 = 0
Диагональ ромба: 5x + y – 13 = 0

Смотрите рисунок.
Если бы эти стороны были параллельны друг другу, то их коэффициенты
при x и y были бы пропорциональны, но это не так.
7 : 3 ≠ –9 : 11
Значит, они пересекаются и мы можем найти первую вершину:
1 вершина A.
{ 7x – 9y – 39 = 0
{ 3x + 11y – 91 = 0
Умножаем 1 уравнение на 11, а 2 уравнение на 9:
{ 77x – 99y – 429 = 0
{ 27x + 99y – 819 = 0
Складываем уравнения:
104x + 0y – 1248 = 0
104x = 1248
x = 12
Подставляем в любое уравнение первой системы:
7·12 – 9y – 39 = 0
84 – 39 = 9y
9y = 45
y = 5
Итак, найдена A(12, 5)

Проверяем, проходит ли заданная диагональ через эту точку:
5·12 + 5 – 13 = 60 + 5 – 13 = 52 ≠ 0
Значит, диагональ не проходит через вершину А.
Тогда она пересекается со сторонами и даёт еще две вершины:
2 вершина B.
{ 7x – 9y – 39 = 0
{ 5x + y – 13 = 0
Умножаем 2 уравнение на 9:
{ 7x – 9y – 39 = 0
{ 45x + 9y – 117 = 0
Складываем уравнения:
52x + 0y – 156 = 0
52x = 156
x = 3
Подставляем в любое уравнение первой системы:
5·3 + y – 13 = 0
y = 13 – 15 = –2
Итак, найдена B(3, –2)

3 вершина D.
{ 3x + 11y – 91 = 0
{ 5x + y – 13 = 0
Умножаем 2 уравнение на –11:
{ 3x + 11y – 91 = 0
{ –55x – 11y + 143 = 0
Складываем уравнения:
–52x + 0y + 52 = 0
52x = 52
x = 1
Подставляем в любое уравнение первой системы:
3·1 + 11y – 91 = 0
3 + 11y – 91 = 0
11y = 88
y = 8
Итак, найдена D(1, 8)


Чтобы найти 4 вершину C, нужно через т. B провести прямую BC || AD.
И еще через точку D провести прямую CD || AB. Они пересекутся в точке C.

Уравнения прямых через точку, параллельных другой прямой:
{ 3(x – 3) + 11(y + 2) = 0
{ 7(x – 1) – 9(y – 8) = 0
Раскрываем скобки:
{ 3x – 9 + 11y + 22 = 0
{ 7x – 7 – 9y + 72 = 0
Приводим подобные:
{ 3x + 11y + 13 = 0
{ 7x – 9y + 65 = 0
Умножаем 1 уравнение на 9, а 2 уравнение на 11:
{ 27x + 99y + 117 = 0
{ 77x – 99y + 715 = 0
Складываем уравнения:
104x + 832 = 0
104x = –832
x = –8
Подставляем в любое уравнение системы:
3(–8) + 11y + 13 = 0
–24 + 11y + 13 = 0
11y = 24 – 13 = 11
y = 1
Получили точку C(–8; 1)
На рисунке она отмечена. Линии BC и CD проведены рыжим цветом.
И, как видим, в результате действительно получился ромб.

Ответ: A(12; 5); B(3; –2); C(–8; 1); D(1; 8)