Задача 78928 ...
Условие
Решение
ОДЗ квадратного корня:
x ≥ –2
Если произведение равно 0, то один из множителей равен 0.
Если корень равен 0, то и подкоренное выражение равно 0.
Поэтому это уравнение можно переписать так:
(x + 2)(x2 – 2ax – a) = 0
1) x + 2 = 0
x1 = –2 – этот корень будет всегда, при любом значении а.
2) x2 – 2ax – a = 0
Чтобы всё уравнение имело 3 различных корня, это квадратное уравнение должно иметь два различных корня, и ни один из них не равен x1 = –2.
D = (–2a)2 – 4·1(–a) = 4a2 + 4a
Так как уравнение имеет 2 корня, то D > 0
4a2 + 4a > 0
4a(a + 1) > 0
a ∈ (–oo; –1) U (0; +oo)
Находим корни:
x2 = \frac{2a - \sqrt{4a^2 + 4a}}{2} = \frac{2a - 2\sqrt{a^2 + a}}{2}= a - \sqrt{a^2 + a}
x3 = \frac{2a + \sqrt{4a^2 + 4a}}{2} = \frac{2a + 2\sqrt{a^2 + a}}{2}= a + \sqrt{a^2 + a}
Но нам надо проверить ОДЗ.
Поэтому при любых a под вторым корнем должны быть x2 > –2, x3 > –2.
Чтобы выражение под первым корнем имело смысл.
Условие: Оба корня x2, x3 должны быть больше x1 = –2
{ a – √a2 + a > –2
{ a + √a2 + a > –2
Оставляем корни с одной стороны, все остальное переносим:
{ √a2 + a < a + 2
{ √a2 + a > –a – 2
Корни арифметические, то есть неотрицательные.
Числа (a + 2) и (–a – 2) – противоположные.
Если a = –2, то:
x2 = –2 – √(–2)2 – 2 = –2 – √4 – 2 = –2 – √2 < –2 – не подходит.
x3 = –2 + √(–2)2 – 2 = –2 + √4 – 2 = –2 + √2 > –2 – подходит.
Значит, a = –2 НЕ является решением.
Если a < –2, то a + 2 < 0.
Тогда из условия:
√a2 + a < a + 2
Сразу вытекает отсутствие решений, потому что корень арифметический, то есть неотрицательный и не может быть меньше отрицательного числа.
Если a > –2, то есть a ∈ (–2; –1) U (0; +oo), то a + 2 > 0, но –a – 2 < 0.
Проверяем положительное:
√a2 + a < a + 2
a2 + a < (a + 2)2
a2 + a < a2 + 4a + 4
a < 4a + 4
3a > –4
a > –4/3
a ∈ (–4/3; –1) U (0; +oo)
Ответ: a ∈ (–4/3; –1) U (0; +oo)