Задача 78928 ...
Условие
Решение
ОДЗ квадратного корня:
x ≥ -2
Если произведение равно 0, то один из множителей равен 0.
Если корень равен 0, то и подкоренное выражение равно 0.
Поэтому это уравнение можно переписать так:
(x + 2)(x^2 - 2ax - a) = 0
1) x + 2 = 0
x1 = -2 - этот корень будет всегда, при любом значении а.
2) x^2 - 2ax - a = 0
Чтобы всё уравнение имело 3 различных корня, это квадратное уравнение должно иметь два различных корня, и ни один из них не равен x1 = -2.
D = (-2a)^2 - 4*1(-a) = 4a^2 + 4a
Так как уравнение имеет 2 корня, то D > 0
4a^2 + 4a > 0
4a(a + 1) > 0
[b]a ∈ (-oo; -1) U (0; +oo)[/b]
Находим корни:
[m]x2 = \frac{2a - \sqrt{4a^2 + 4a}}{2} = \frac{2a - 2\sqrt{a^2 + a}}{2}= a - \sqrt{a^2 + a}[/m]
[m]x3 = \frac{2a + \sqrt{4a^2 + 4a}}{2} = \frac{2a + 2\sqrt{a^2 + a}}{2}= a + \sqrt{a^2 + a}[/m]
Но нам надо проверить ОДЗ.
Поэтому при любых a под вторым корнем должны быть x2 > -2, x3 > -2.
Чтобы выражение под первым корнем имело смысл.
Условие: Оба корня x2, x3 должны быть больше x1 = -2
{ a - sqrt(a^2 + a) > -2
{ a + sqrt(a^2 + a) > -2
Оставляем корни с одной стороны, все остальное переносим:
{ sqrt(a^2 + a) < a + 2
{ sqrt(a^2 + a) > -a - 2
Корни арифметические, то есть неотрицательные.
Числа (a + 2) и (-a - 2) - противоположные.
Если a = -2, то:
x2 = -2 - sqrt((-2)^2 - 2) = -2 - sqrt(4 - 2) = -2 - sqrt(2) < -2 - не подходит.
x3 = -2 + sqrt((-2)^2 - 2) = -2 + sqrt(4 - 2) = -2 + sqrt(2) > -2 - подходит.
Значит, a = -2 НЕ является решением.
Если a < -2, то a + 2 < 0.
Тогда из условия:
sqrt(a^2 + a) < a + 2
Сразу вытекает отсутствие решений, потому что корень арифметический, то есть неотрицательный и не может быть меньше отрицательного числа.
Если a > -2, то есть a ∈ (-2; -1) U (0; +oo), то a + 2 > 0, но -a - 2 < 0.
Проверяем положительное:
sqrt(a^2 + a) < a + 2
a^2 + a < (a + 2)^2
a^2 + a < a^2 + 4a + 4
a < 4a + 4
3a > -4
a > -4/3
[b]a ∈ (-4/3; -1) U (0; +oo)[/b]
Ответ: a ∈ (-4/3; -1) U (0; +oo)