Задача 78918 Как решить ...
Условие
Решение
а)
{ y = x + 1
{ x^2 + 2y = 1
Решаем подстановкой 1 уравнения во 2 уравнение:
x^2 + 2(x + 1) = 1
x^2 + 2x + 2 = 1
x^2 + 2x - 1 = 0
D = 2^2 - 4*1(-1) = 4 + 4 = 8
x1 = (-2 - sqrt(8))/2 = (-2 - 2sqrt(2))/2 = -1 - sqrt(2)
y1 = x1 + 1 = -1 - sqrt(2) + 1 = -sqrt(2)
x2 = -1 + sqrt(2)
y2 = x2 + 1 = -1 + sqrt(2) + 1 = sqrt(2)
Ответ: (-1 - sqrt(2); -sqrt(2)); (-1 + sqrt(2); sqrt(2))
б)
{ x^2 + xy = 5
{ y + x = 2
Выразим y через x:
{ x^2 + xy = 5
{ y = 2 - x
Решаем подстановкой 2 уравнения в 1 уравнение:
x^2 + x(2 - x) = 5
x^2 + 2x - x^2 = 5
2x = 5
x = 5/2 = 2,5
y = 2 - x = 2 - 2,5 = -0,5
Ответ: (2,5; -0,5)
2. Сумма двух чисел равна 13, а из произведение равно 40.
{ x + y = 13
{ x*y = 40
Решаем подстановкой 1 уравнения во 2 уравнение:
{ y = 13 - x
{ x(13 - x) = 40
13x - x^2 = 40
Переносим всё направо:
0 = 40 - 13x + x^2
x^2 - 13x + 40 = 0
D = 13^2 - 4*1*40 = 169 - 160 = 9 = 3^2
x1 = (13 - 3)/2 = 5; y1 = 13 - 5 = 8
x2 = (13 + 3)/2 = 8; y2 = 13 - 8 = 5
В обоих случаях это числа 5 и 8.
Ответ: (5; 8)
3. Задача.
S = 20 км, время по течению t1 = 1 час, время против течения t2 = 2 часа.
Найти v лодки и v течения.
Обозначим скорость лодки w, а скорость течения v.
Скорость лодки по течению w + v, скорость против течения w - v.
{ 20/(w + v) = 1
{ 20/(w - v) = 2
Получаем:
{ w + v = 20
{ w - v = 10
Складываем уравнения:
2w = 30
w = 15 км/ч - это скорость лодки
Тогда скорость течения:
v = 20 - w = 20 - 15 = 5 км/ч
Ответ: Скорость лодки 15 км/ч, скорость течения 5 км/ч.