Задача 78900 Решение систем по Гауссу...
Условие
Решение
{ 3x1 + 2x2 + x3 - x4 = 1
{ 2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 1
{ 2x1 + 2x2 + 2x3 - x4 = 1
{ 5x1 + 5x2 + 2x5 = 2
Запишем систему со всеми пропущенными переменными:
{ x1 + 2x2 + 3x3 - x4 + 0x5 = 1
{ 3x1 + 2x2 + x3 - x4 + 0x5 = 1
{ 2x1 + 3x2 + x3 + x4 + 0x5 = 1
{ 2x1 + 2x2 + 2x3 - x4 + 0x5 = 1
{ 5x1 + 5x2 + 0x3 + 0x4 + 2x5 = 2
Умножаем 1 уравнение на -3 и складываем со 2 уравнением.
Умножаем 1 уравнение на -2 и складываем с 3 уравнением.
Умножаем 1 уравнение на -2 и складываем с 4 уравнением.
Умножаем 1 уравнение на -5 и складываем с 5 уравнением.
{ x1 + 2x2 + 3x3 - x4 + 0x5 = 1
{ 0x1 - 4x2 - 8x3 + 2x4 + 0x5 = -2
{ 0x1 - x2 - 4x3 + 3x4 + 0x5 = -1
{ 0x1 - 2x2 - 4x3 + x4 + 0x5 = -1
{ 0x1 - 5x2 - 15x3 + 5x4 + 2x5 = -3
2 уравнение можно разделить на 2. А 3 уравнение умножим на -2:
{ x1 + 2x2 + 3x3 - x4 + 0x5 = 1
{ 0x1 - 2x2 - 4x3 + x4 + 0x5 = -1
{ 0x1 + 2x2 + 8x3 - 6x4 + 0x5 = 2
{ 0x1 - 2x2 - 4x3 + x4 + 0x5 = -1
{ 0x1 - 5x2 - 15x3 + 5x4 + 2x5 = -3
Получилось два одинаковых уравнения - 2 и 4. Одно можно убрать:
{ x1 + 2x2 + 3x3 - x4 + 0x5 = 1
{ 0x1 - 2x2 - 4x3 + x4 + 0x5 = -1
{ 0x1 + 2x2 + 8x3 - 6x4 + 0x5 = 2
{ 0x1 - 5x2 - 15x3 + 5x4 + 2x5 = -3
Складываем 2 и 3 уравнение и записываем вместо 3 уравнения.
2 уравнение умножаем на 5, а 4 уравнение на -2 и складываем их:
{ x1 + 2x2 + 3x3 - x4 + 0x5 = 1
{ 0x1 - 2x2 - 4x3 + x4 + 0x5 = -1
{ 0x1 + 0x2 + 4x3 - 5x4 + 0x5 = 1
{ 0x1 + 0x2 + 10x3 - 5x4 - 4x5 = 1
Умножаем 3 уравнение на 10, а 4 уравнение на -4 и складываем их:
{ x1 + 2x2 + 3x3 - x4 + 0x5 = 1
{ 0x1 - 2x2 - 4x3 + x4 + 0x5 = -1
{ 0x1 + 0x2 + 4x3 - 5x4 + 0x5 = 1
{ 0x1 + 0x2 + 0x3 - 30x4 + 16x5 = 6
Из 4 уравнения получаем:
- 30x4 + 16x5 = 6
-15x4 + 8x5 = 3
8x5 - 3 = 15x4
x4 = (8x5 - 3)/15
Подставляем в 3 уравнение и получаем:
4x3 - 5(8x5 - 3)/15 = 1
4x3 - (8x5 - 3)/3 = 3/3
4x3 = (3 + 8x5 - 3)/3
4x3 = 8x5/3
x3 = 2x5/3
Подставляем во 2 уравнение и получаем:
- 2x2 - 8x5/3 + (8x5 - 3)/15 = -1
15/15 - 40x5/15 + (8x5 - 3)/15 = 2x2
2x2 = (12 - 32x5)/15
x2 = (6 - 16x5)/15
Подставляем в 1 уравнение и получаем:
x1 + (12 - 32x5)/15 + 2x5 - (8x5 - 3)/15 = 1
x1 + (12 - 32x5 + 30x5 - 8x5 + 3)/15 = 15/15
x1 + (15 - 10x5)/15 = 15/15
x1 = (15 - 15 + 10x5)/15
x1 = 2x5/3
Ответ: x5 ∈ (-oo; +oo); x4 = (8x5 - 3)/15; x3 = 2x5/3; x2 = (6 - 16x5)/15; x1 = 2x5/3