Задача 78900 Решение систем по Гауссу...
Условие
Решение
{ 3x1 + 2x2 + x3 – x4 = 1
{ 2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 1
{ 2x1 + 2x2 + 2x3 – x4 = 1
{ 5x1 + 5x2 + 2x5 = 2
Запишем систему со всеми пропущенными переменными:
{ x1 + 2x2 + 3x3 – x4 + 0x5 = 1
{ 3x1 + 2x2 + x3 – x4 + 0x5 = 1
{ 2x1 + 3x2 + x3 + x4 + 0x5 = 1
{ 2x1 + 2x2 + 2x3 – x4 + 0x5 = 1
{ 5x1 + 5x2 + 0x3 + 0x4 + 2x5 = 2
Умножаем 1 уравнение на –3 и складываем со 2 уравнением.
Умножаем 1 уравнение на –2 и складываем с 3 уравнением.
Умножаем 1 уравнение на –2 и складываем с 4 уравнением.
Умножаем 1 уравнение на –5 и складываем с 5 уравнением.
{ x1 + 2x2 + 3x3 – x4 + 0x5 = 1
{ 0x1 – 4x2 – 8x3 + 2x4 + 0x5 = –2
{ 0x1 – x2 – 4x3 + 3x4 + 0x5 = –1
{ 0x1 – 2x2 – 4x3 + x4 + 0x5 = –1
{ 0x1 – 5x2 – 15x3 + 5x4 + 2x5 = –3
2 уравнение можно разделить на 2. А 3 уравнение умножим на –2:
{ x1 + 2x2 + 3x3 – x4 + 0x5 = 1
{ 0x1 – 2x2 – 4x3 + x4 + 0x5 = –1
{ 0x1 + 2x2 + 8x3 – 6x4 + 0x5 = 2
{ 0x1 – 2x2 – 4x3 + x4 + 0x5 = –1
{ 0x1 – 5x2 – 15x3 + 5x4 + 2x5 = –3
Получилось два одинаковых уравнения – 2 и 4. Одно можно убрать:
{ x1 + 2x2 + 3x3 – x4 + 0x5 = 1
{ 0x1 – 2x2 – 4x3 + x4 + 0x5 = –1
{ 0x1 + 2x2 + 8x3 – 6x4 + 0x5 = 2
{ 0x1 – 5x2 – 15x3 + 5x4 + 2x5 = –3
Складываем 2 и 3 уравнение и записываем вместо 3 уравнения.
2 уравнение умножаем на 5, а 4 уравнение на –2 и складываем их:
{ x1 + 2x2 + 3x3 – x4 + 0x5 = 1
{ 0x1 – 2x2 – 4x3 + x4 + 0x5 = –1
{ 0x1 + 0x2 + 4x3 – 5x4 + 0x5 = 1
{ 0x1 + 0x2 + 10x3 – 5x4 – 4x5 = 1
Умножаем 3 уравнение на 10, а 4 уравнение на –4 и складываем их:
{ x1 + 2x2 + 3x3 – x4 + 0x5 = 1
{ 0x1 – 2x2 – 4x3 + x4 + 0x5 = –1
{ 0x1 + 0x2 + 4x3 – 5x4 + 0x5 = 1
{ 0x1 + 0x2 + 0x3 – 30x4 + 16x5 = 6
Из 4 уравнения получаем:
– 30x4 + 16x5 = 6
–15x4 + 8x5 = 3
8x5 – 3 = 15x4
x4 = (8x5 – 3)/15
Подставляем в 3 уравнение и получаем:
4x3 – 5(8x5 – 3)/15 = 1
4x3 – (8x5 – 3)/3 = 3/3
4x3 = (3 + 8x5 – 3)/3
4x3 = 8x5/3
x3 = 2x5/3
Подставляем во 2 уравнение и получаем:
– 2x2 – 8x5/3 + (8x5 – 3)/15 = –1
15/15 – 40x5/15 + (8x5 – 3)/15 = 2x2
2x2 = (12 – 32x5)/15
x2 = (6 – 16x5)/15
Подставляем в 1 уравнение и получаем:
x1 + (12 – 32x5)/15 + 2x5 – (8x5 – 3)/15 = 1
x1 + (12 – 32x5 + 30x5 – 8x5 + 3)/15 = 15/15
x1 + (15 – 10x5)/15 = 15/15
x1 = (15 – 15 + 10x5)/15
x1 = 2x5/3
Ответ: x5 ∈ (–oo; +oo); x4 = (8x5 – 3)/15; x3 = 2x5/3; x2 = (6 – 16x5)/15; x1 = 2x5/3