Задача 78895 Нужно решить неравенство...
Условие
Решение
а) (x – 1)(2x + 7)(9 – x) ≤ 0
У нас есть 3 особых точки: x1 = –7/2 = –3,5; x2 = 1; x3 = 9
Они делят числовую прямую на промежутки:
(–oo; –3,5]; [–3,5; 1]; [1; 9]; [9; +oo)
Поскольку неравенство не строгое (≤ 0), то у чисел стоят квадратные скобки. На бесконечностях всегда ставятся круглые скобки.
Берем любое число, кроме этих трех, например, 0, и подставляем:
(0 – 1)(2·0 + 7)(9 – 0) = (–1)·7·9 < 0 – нам это подходит.
Нам не нужно вычислять, достаточно понять, какой знак.
Значит, на всём отрезке (–3,5; 1), содержащем 0, будет значение меньше 0.
А остальные значения будут через одного:
На (–oo; –3,5) – больше 0, на (1; 9) – больше 0, на (9; +oo) – меньше 0.
Здесь уже скобки круглые, потому что в самих числах –3,5; 1; 9 оно равно 0.
Ответ: x ∈ [–3,5; 1] U [9; +oo)
Остальные примеры решаются точно также, я не буду подробно расписывать, а просто укажу ответы.
б) (x – 7)(5 – x)(2,4 – x) < 0
Особые точки: 2,4; 5; 7. Промежутки: (–oo; 2,4); (2,4; 5); (5; 7); (7; +oo)
Здесь неравенство строгое, поэтому скобки будут везде круглые.
Ответ: x ∈ (–oo; 2,4) U (5; 7)
в) –3(–x + 8)(7 – x) > 0
Здесь можно разделить на –3 < 0, при этом знак неравенства поменяется:
(8 – x)(7 – x) < 0
Особые точки: 7; 8. Промежутки: (–oo; 7); (7; 8); (8; +oo)
Здесь неравенство строгое, поэтому скобки будут везде круглые.
Ответ: x ∈ (7; 8)
г) (3x – 7)/(5 – x) ≥ 0
Особые точки: 7/3 = 2 1/3; 5. Промежутки: (–oo; 7/3); (7/3; 5); (5; +oo)
Деление в таких примерах ничем не отличается от умножения.
Но надо помнить, что знаменатель не может равняться 0.
Поэтому квадратная скобка будет только у числа 7/3, а у 5 – круглая.
Ответ: x ∈ [7/3; 5)
д) x(x – 19)(x + 8) < 0
Особые точки: –8; 0; 19. Промежутки: (–oo; –8); (–8; 0); (0; 19); (19; +oo)
Здесь неравенство строгое, поэтому скобки будут везде круглые.
Ответ: x ∈ (–oo; –8) U (0; 19)
ж) (6x + 2)/x > 3
Здесь сначала надо перенести 3 налево, а справа оставить 0:
(6x + 2)/x – 3 > 0
Теперь надо свести всё выражение слева к одной дроби:
(6x + 2 – 3x)/x > 0
Приводим подобные:
(3x + 2)/x > 0
Особые точки: –2/3; 0. Промежутки: (–oo; –2/3); (–2/3; 0); (0; +oo)
Здесь неравенство строгое, поэтому скобки будут везде круглые.
Ответ: x ∈ (–oo; –2/3) U (0; +oo)