Задача 78866 13.7 Ящик с квадратным основанием и...
Условие
Решение
- Объем ящика [m] V = 32,000 \, \text{см}^3 [/m].
- Ящик имеет квадратное основание с открытым верхом.
- Размер основания [m] x \times x [/m].
- Высота ящика [m] h [/m].
Нужно найти размеры ящика, минимизирующие количество используемого материала для конструкции боковых стенок и основания.
Решение:
1. Выразим высоту через объем ящика:
[m]
V = x^2 \cdot h = 32,000
[/m]
[m]
h = \frac{32,000}{x^2}
[/m]
2. Найдем площадь используемого материала. Поскольку ящик имеет открытый верх, его площадь поверхности [m] S [/m] заключается в площади основания и четырех стен:
[m]
S = x^2 + 4(x \cdot h)
[/m]
3. Подставляем выражение для высоты [m] h [/m]:
[m]
S = x^2 + 4x \cdot \frac{32,000}{x^2}
[/m]
[m]
S = x^2 + \frac{128,000}{x}
[/m]
4. Найдем минимум функции [m] S(x) [/m]. Для этого найдем производную и решим уравнение для минимизации:
[m]
S'(x) = 2x - \frac{128,000}{x^2}
[/m]
5. Приравняем производную к нулю:
[m]
2x - \frac{128,000}{x^2} = 0
[/m]
6. Умножим на [m] x^2 [/m] для избавления от знаменателя:
[m]
2x^3 = 128,000
[/m]
[m]
x^3 = 64,000
[/m]
[m]
x = \sqrt[3]{64,000}
[/m]
[m]
x = 40 \, \text{см}
[/m]
7. Найдем высоту [m] h [/m] при полученном значении [m] x [/m]:
[m]
h = \frac{32,000}{40^2} = \frac{32,000}{1,600} = 20 \, \text{см}
[/m]
Ответ:
- Размеры ящика, минимизирующие количество используемого материала: основание [m] x = 40 \, \text{см} [/m], высота [m] h = 20 \, \text{см} [/m].
Все решения
Ответ: 40 см (основание) и 20 см (высота).