Задача 78866 13.7 Ящик с квадратным основанием и...

Nozima

28 ноября 2024 г. в 07:20

13.7 Ящик с квадратным основанием и открытым верхом должен иметь объем 32 000 см2. Найдите размеры коробки, которые минимизируют количество используемого материала.

admin

7 декабря 2024 г. в 01:08

★

Дано:
– Объем ящика $V = 32,000 \, \text{см}^3$.
– Ящик имеет квадратное основание с открытым верхом.
– Размер основания $x \times x$.
– Высота ящика $h$.

Нужно найти размеры ящика, минимизирующие количество используемого материала для конструкции боковых стенок и основания.

Решение:
1. Выразим высоту через объем ящика:
$V = x^2 \cdot h = 32,000$
$h = \frac{32,000}{x^2}$

2. Найдем площадь используемого материала. Поскольку ящик имеет открытый верх, его площадь поверхности $S$ заключается в площади основания и четырех стен:
$S = x^2 + 4(x \cdot h)$

3. Подставляем выражение для высоты $h$:
$S = x^2 + 4x \cdot \frac{32,000}{x^2}$
$S = x^2 + \frac{128,000}{x}$

4. Найдем минимум функции $S(x)$. Для этого найдем производную и решим уравнение для минимизации:
$S'(x) = 2x - \frac{128,000}{x^2}$

5. Приравняем производную к нулю:
$2x - \frac{128,000}{x^2} = 0$

6. Умножим на $x^2$ для избавления от знаменателя:
$2x^3 = 128,000$
$x^3 = 64,000$
$x = \sqrt[3]{64,000}$
$x = 40 \, \text{см}$

7. Найдем высоту $h$ при полученном значении $x$:
$h = \frac{32,000}{40^2} = \frac{32,000}{1,600} = 20 \, \text{см}$

Ответ:
– Размеры ящика, минимизирующие количество используемого материала: основание $x = 40 \, \text{см}$, высота $h = 20 \, \text{см}$.

Михаил_494146264

28 ноября 2024 г. в 07:41

Ответ: 40 см (основание) и 20 см (высота).