Задача 78847 Вычислите интеграл тригонамеьрических...

Nozima

29 ноября 2024 г. в 06:11

Вычислите интеграл тригонамеьрических функций

Удачник66

29 ноября 2024 г. в 08:42

★

$\int tg^3\ x\ dx = \int \frac{\sin^3 x}{\cos^3 x}\ dx = \int \frac{\sin^2 x}{\cos^3 x} \cdot \sin x\ dx = \int \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^3 x} \cdot \sin x\ dx$
Замена t = cos x; dt = –sin x dx
$\int \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^3 x} \cdot \sin x\ dx = \int \frac{1 - t^2}{t^3} (-dt) = \int \frac{t^2 - 1}{t^3} dt = \int (\frac{t^2}{t^3} - \frac{1}{t^3})\ dt =$
$= \int (\frac{1}{t} - t^{-3})\ dt = \ln |t| - \frac{t^{-2}}{-2} + C = \ln |\cos x| + \frac{1}{2\cos^2 x} + C$