Задача 78843 Определить взаимное положение прямых,...
Условие
Решение
x1 = 2; y1 = -3; z1 = 2; m1 = 4; n1 = 2; p1 = -3
[m]l2: \frac{x-4}{2} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-5}{3}[/m]
x2 = 4; y2 = -1; z2 = 5; m2 = 2; n2 = 2; p2 = 3
Если прямые параллельны, то их коэффициенты (знаменатели) пропорциональны друг другу.
4 : 2 = 2 : 2 = -3 : 3
Это неверно, значит, эти прямые не параллельны.
Если прямые перпендикулярны, то выполняется равенство:
m1*m2 + n1*n2 + p1*p2 = 0
В нашем случае:
4*2 + 2*2 + (-3)*3 = 8 + 4 - 9 = 3
Не равно 0, значит, они не перпендикулярны..
Если они не параллельны и не перпендикулярны, то они просто пересекаются.
Определитель должен быть равен 0:
[m]\begin{vmatrix}
x1-x2 & y1-y2 & z1-z2 \\
m1 & n1 & p1 \\
m2 & n2 & p2 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
В нашем случае:
[m]\begin{vmatrix}
4-2 & 2-2 & -3-3 \\
4 & 2 & -3 \\
2 & 2 & 3 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= (4-2)*2*3 + (2-2)*2*(-3) + (-3-3)*4*2 - (4-2)*2*(-3) - (2-2)*3*4 - (-3-3)*2*2 =
= 2*6 + 0 + (-6)*8 - 2*(-6) - 0 - (-6)*4 = 12 - 48 + 12 + 24 = 0
Значит, эти прямые лежат в одной плоскости.
Так как прямые не параллельны и не перпендикулярны, то они пересекаются.
Если ни один признак не работает, значит, прямые скрещиваются.
Ответ: Прямые l1 и l2 пересекаются.