Задача 78841 Определить взаимное положение прямых,...
Условие
l1: (x-2/2)=(y-3/3)=(z-2/2)
l2: (x+3/4)=(y+5/6)=(z+2/4)
Решение
x1 = 2; y1 = 3; z1 = 2 (в числителях). m1 = 2; n1 = 3; p1 = 2 (знаменатели).
l2: (x + 3)/4 = (y + 5)/6 = (z + 2)/4
x2 = -3; y2 = -5; z2 = -2 (в числителях). m2 = 4; n2 = 6; p2 = 4 (знаменатели).
Если прямые параллельны, то их коэффициенты (знаменатели) пропорциональны друг другу.
2 : 4 = 3 : 6 = 2 : 4
Это верно, значит, эти прямые параллельны.
Проверим, не совпадают ли они. Подставим (x1; y1; z1) в уравнение прямой l2:
(2 + 3)/4 = (3 + 5)/6 = (2 + 2)/4
5/4 = 8/6 = 4/4
Это неверно, значит, прямые параллельны, но не совпадают.
Если бы они были перпендикулярны, то выполнялось бы равенство:
m1*m2 + n1*n2 + p1*p2 = 0
В нашем случае:
2*4 + 3*6 + 2*4 = 8 + 18 + 8 = 34
Не равно 0, значит, они не перпендикулярны.
Если они не параллельны и не перпендикулярны, но лежат в одной плоскости,
то они просто пересекаются.
Определитель должен быть равен 0:
[m]\begin{vmatrix}
x1-x2 & y1-y2 & z1-z2 \\
m1 & n1 & p1 \\
m2 & n2 & p2 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
В нашем случае:
[m]\begin{vmatrix}
2+3 & 3+5 & 2+2 \\
2 & 3 & 2 \\
4 & 6 & 4 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= (2 + 3)*3*4 + (3+5)*2*4 + (2+2)*2*6 - (2+3)*2*6 - (3+5)*2*4 - (2+2)*3*4 =
= 5*12 + 8*8 + 4*12 - 5*12 - 8*8 - 4*12 = 0
Естественно, потому что l1 || l2, а значит, они лежат в одной плоскости..
Если ни один признак не работает, значит, прямые скрещиваются.
Ответ: l1 || l2