Задача 78836 [b][red]СРОЧНО.[/red][/b] При каких...
Условие
При каких значениях параметров a и b система system{y=a|x–3a|;|x|=b–|y|} имеет относительно неизвестных x и y бесконечно много решений?
Решение
{ |x| = b - |y|
Перепишем 2 уравнение:
{ y = a*|x - 3a|
{ |x| + |y| = b
Отсюда ясно, что b ≥ 0, как сумма двух неотрицательных чисел.
Проверим, может ли быть b = 0?
{ y = a*|x - 3a|
{ |x| + |y| = 0
Отсюда сразу x = y = 0
0 = a*(0 - 3a)
-3a^2 = 0
a = 0
Значит, при b = 0 и a = 0 будет 1 решение x = y = 0
При b = 0 и a ≠ 0 решений вообще нет.
Нам этот вариант не подходит, значит:
[b]b > 0[/b]
При x ≥ 0 и y ≥ 0 будет: x + y = b; y = b - x
При x ≥ 0 и y < 0 будет: x - y = b; y = x - b
При x < 0 и y ≥ 0 будет: -x + y = b; y = x + b
При x < 0 и y < 0 будет: -x - y = b; y = -x - b
Рассмотрим, чему может равняться параметр а.
y = a*|x - 3a|
1) При x < 3a будет: |x - 3a| = 3a - x
y = a(3a - x)
При x ≥ 0 и y ≥ 0 будет: y = b - x = a(3a - x)
Решим для примера это уравнение, остальные решаются точно также:
b - x = 3a^2 - ax
ax - x = 3a^2 - b
x(a - 1) = 3a^2 - b
x = (3a^2 - b)/(a - 1)
У нас должны выполняться условия:
x ∈ [0; 3a); y ∈ [0; +oo); b ∈ (0; +oo)
Очевидно, должно быть a ≥ 0, a ≠ 1, иначе x не может быть определен.
a ∈ [0; 1) U (1; +oo)
А так как y = b - x ≥ 0, то должно быть 0 ≤ x < b
{ (3a^2 - b)/(a - 1) < b
{ (3a^2 - b)/(a - 1) < 3a
Вот из этой системы неравенств нам и надо получить оценки для а и b.
{ [m]\frac{3a^2-b - b(a-1)}{a-1} < 0[/m]
{ [m]\frac{3a^2-b - 3a(a-1)}{a-1} < 0[/m]
Раскрываем скобки, приводим подобные:
{ [m]\frac{3a^2 - ab}{a-1} < 0[/m]
{ [m]\frac{3a - b}{a-1} < 0[/m]
Выносим а за скобки:
{ [m]\frac{a(3a - b)}{a-1} < 0[/m]
{ [m]\frac{3a - b}{a-1} < 0[/m]
Решаем, вариант 1:
{ a > 0
{ 3a - b > 0
{ a - 1 < 0
a ∈ (0; 1); 0 < b < 3a; b ∈ (0; 1/3)
Решаем, вариант 2:
{ a > 0
{ 3a - b < 0
{ a - 1 > 0
a ∈ (1; +oo); b > 3a; b ∈ (3; +oo)
Решение: При a ∈ (0; 1) b ∈ (0; 1/3). При a ∈ (1; +oo) b ∈ (3; +oo)
Точно также решаются все остальные 7 уравнений.
Каждое распадается на 2 неравенства, дающих 2 варианта решения.
При x ≥ 0 и y < 0 будет: y = x - b = a(3a - x)
При x < 0 и y ≥ 0 будет: y = x + b = a(3a - x)
При x < 0 и y < 0 будет: y = -x - b = a(3a - x)
2) При x ≥ 3a будет: |x - 3a| = x - 3a
y = a(x - 3a)
При x ≥ 0 и y ≥ 0 будет: y = b - x = a(x - 3a)
При x ≥ 0 и y < 0 будет: y = x - b = a(x - 3a)
При x < 0 и y ≥ 0 будет: y = x + b = a(x - 3a)
При x < 0 и y < 0 будет: y = -x - b = a(x - 3a)