Задача 78834 вычислить неопределенный интеграл.14.7...

Nozima

28 ноября 2024 г. в 12:27

вычислить неопределенный интеграл.14.7 a. И б

Удачник66

28 ноября 2024 г. в 02:28

★

а) $\int tg\ x \cdot \ln \cos x\ dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \ln \cos x\ dx = \int \frac{\ln \cos x}{\cos x} \cdot \sin x\ dx$
Замена y = cos x, тогда dy = –sin x dx
$\int \frac{\ln \cos x}{\cos x} \cdot \sin x\ dx = \int \frac{\ln y}{y} (-dy) = -\int \ln y \cdot \frac{dy}{y}$
Замена z = ln y, тогда dz = dy/y
$-\int \ln y \cdot \frac{dy}{y} = -\int z\ dz = -\frac{z^2}{2} + C = -\frac{(\ln y)^2}{2} + C = -\frac{(\ln \cos x)^2}{2} + C$

б) $\int \frac{x\ dx}{\cos^2 x}$
Берем методом по частям.
u = x, dv = dx/cos² x; du = dx; v = tg x
$\int \frac{x\ dx}{\cos^2 x} = uv - \int v\ du = x \cdot tg\ x - \int tg\ x\ dx =$
$= x \cdot tg\ x - \int \frac{\sin x\ dx}{\cos x} = x \cdot tg\ x + \ln \cos x + C$