Задача 78804 дан квадратный трехчлен az2+bz+c=0...
Условие
Решение
D = b^2 - 4ac < 0, тогда -D > 0
sqrt(D) = sqrt(-D)*i
1) [m]\large z1 = \frac{-b - \sqrt{-D}*i}{2a} = -\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{-D}}{2a} \cdot i[/m]
[m]\large z2 = \frac{-b + \sqrt{-D}*i}{2a} = -\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{-D}}{2a} \cdot i[/m]
2) [m]\large az^2 + bz + c = (z - z1)(z - z2) = [/m]
[m]= (z - \frac{-b - \sqrt{-D} \cdot i}{2a})(z - \frac{-b + \sqrt{-D} \cdot i}{2a}) =[/m]
[m]\large = (z + \frac{b + \sqrt{-D} \cdot i}{2a})(z + \frac{b - \sqrt{-D} \cdot i}{2a})[/m]
3) Изобразить корни на комплексной плоскости.
Для этого надо знать значения a, b, c, и посчитать корни в числах.
4) Записать корни в тригонометрической и показательной форме.
Число z1:
[m]|z1| = \sqrt{(-\frac{b}{2a})^2 + (- \frac{\sqrt{-D}}{2a})^2} = \sqrt{(\frac{b}{2a})^2 + (\frac{\sqrt{-D}}{2a})^2} = [/m]
[m]= \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} + \frac{-D}{4a^2}} = \frac{\sqrt{b^2-D}}{2a}[/m]
[m]\large arg\ z1 = \phi1 = arctg\ \frac{- \frac{\sqrt{-D}}{2a}}{-\frac{b}{2a}} = arctg\ \frac{\sqrt{-D}}{b}[/m]
Число z1 в тригонометрической форме:
z1 = |z1|*(cos φ1 + i*sin φ1)
Число z1 в показательной форме:
z1 = |z1|*e^(i*φ1)
Точно также с числом z2:
[m]|z2| = \sqrt{(-\frac{b}{2a})^2 + (\frac{\sqrt{-D}}{2a})^2} = \sqrt{(\frac{b}{2a})^2 + (\frac{\sqrt{-D}}{2a})^2}=[/m]
[m]= \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} + \frac{-D}{4a^2}} = \frac{\sqrt{b^2-D}}{2a}[/m]
[m]\large arg\ z2 = \phi2 = arctg\ \frac{\frac{\sqrt{-D}}{2a}}{-\frac{b}{2a}} = arctg\ (-\frac{\sqrt{-D}}{b})[/m]
Число z2 в тригонометрической форме:
z2 = |z2|*(cos φ2 + i*sin φ2)
Число z2 в показательной форме:
z2 = |z2|*e^(i*φ2)
5) [m]z1^2 = (-\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{-D}}{2a} \cdot i)^2 = (\frac{b}{2a})^2 + 2 \cdot \frac{b}{2a} \cdot \frac{\sqrt{-D}}{2a} \cdot i - (\frac{\sqrt{-D}}{2a})^2[/m]
[m]z2^2 = (-\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{-D}}{2a} \cdot i)^2 = (\frac{b}{2a})^2 - 2 \cdot \frac{b}{2a} \cdot \frac{\sqrt{-D}}{2a} \cdot i - (\frac{\sqrt{-D}}{2a})^2[/m]
[m]\frac{z2^3}{z1^2}[/m] это сами посчитайте.