Задача 78780 Решите пожалуйста????????...
Условие
Решение
=\frac{19-9i}{26} - \frac{-1+i}{2} = \frac{19-9i - 13(-1+i)}{26} = \frac{19-9i + 13-13i}{26}=\frac{32-22i}{26} = \frac{16-11i}{13}
2) \frac{4-i}{5+i} \cdot \frac{i}{1-i} = \frac{(4-i)i}{(5+i)(1-i)} = \frac{4i-i^2}{5-4i-i^2}=\frac{1+4i}{6-4i}=
= \frac{(1+4i)(6+4i)}{(6-4i)(6+4i)} = \frac{6+28i+16i^2}{36-16i^2} = \frac{-10+28i}{52} = \frac{-5+14i}{26}
3) \frac{4-i}{5+i} : \frac{i}{1-i} = \frac{4-i}{5+i} \cdot \frac{1-i}{i} = \frac{(4-i)(1-i)}{(5+i)i} = \frac{4-5i+i^2}{5i+i^2} =
=\frac{3-5i}{-1+5i} = \frac{(3-5i)(-1-5i)}{(-1+5i)(-1-5i)} = \frac{-3-10i+25i^2}{1-25i^2} = \frac{-28-10i}{26} = \frac{-14-5i}{13}
4) Здесь не видно показатель степени, напишу в общем виде.
Сначала нужно перевести число в тригонометрическую форму.
(\sqrt{3}i + 1)^{n} = (1 + \sqrt{3}i)^{n} = (2(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}))^{n} = (2(\cos \frac{\pi}{3} + i \cdot \sin \frac{\pi}{3}))^{n}
Потому что cos π/3 = 1/2; sin π/3 = √3/2
И потом воспользоваться формулой Муавра для степеней:
= (2(\cos \frac{\pi}{3} + i \cdot \sin \frac{\pi}{3}))^{n} = 2^{n}(\cos \frac{n \pi}{3} + i \cdot \sin \frac{n \pi}{3})
Впрочем, если это квадрат, то всё проще:
(\sqrt{3}i + 1)^{2} = (1 + \sqrt{3}i)(1 + \sqrt{3}i) = 1 + 2\sqrt{3}i + 3i^2 = -2+2\sqrt{3}i
5) \frac{2z^2+i}{iz+2}, где z = 2 + i
z^2 = (2+i)^2 = (2+i)(2+i) = 4+4i+i^2 = 3+4i
2z^2+i = 6+8i + i = 6 + 9i
iz+2 = i(2+i) + 2 = 2i+i^2+2 = 1+2i
\frac{2z^2+i}{iz+2} = \frac{6+9i}{1+2i} = \frac{(6+9i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{6-3i-18i^2}{1-4i^2}= \frac{24-3i}{5}
6) Смотрите номер 4, там этот пример уже разобран в общем виде.
(\sqrt{3}i + 1)^{3} = (1 + \sqrt{3}i)^{3} = (2(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}))^{3} =
= (2(\cos \frac{\pi}{3} + i \cdot \sin \frac{\pi}{3}))^{3}=2^3(\cos \frac{3\pi}{3} + i \cdot \sin \frac{3\pi}{3}) = 8(\cos \pi + i \cdot \sin \pi) = -8
Потому что cos π = –1; sin π = 0