Задача 78777 Даны уравнения двух прямых l1 и l2 ....

павапева

24 ноября 2024 г. в 07:17

Даны уравнения двух прямых l1 и l2 . Показать, что один из образованных ими смежных углов острый, и найти уравнение биссектрисы этого угла. Сделать чертеж. l1:5x+12y+24=0, l2: 5x–12y+4=0

Удачник66

24 ноября 2024 г. в 11:37

★

{ l1:5x + 12y + 24 = 0
{ l2: 5x – 12y + 4 = 0
Чертеж представлен на рисунке.
Две прямые на плоскости могут быть или параллельны, или перпендикулярны, или пересекаться, при этом один из углов острый.
Если они параллельны, то коэффициенты пропорциональны:
A1 : A2 = B1 : B2
5 : 5 = 12 : (–12)
Это неверно, значит, они не параллельны.
Если они перпендикулярны, то выполнено равенство:
A1·A2 + B1·B2 = 0
5·5 + 12·(–12) = 25 – 144 ≠ 0, это можно даже не считать.
Значит, они не перпендикулярны.
Таким образом, мы получаем, что один из углов пересечения – острый.

Уравнение биссектрисы:
$\frac{5x + 12y + 24}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = ± \frac{5x - 12y + 4}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}}$
$\frac{5x + 12y + 24}{\sqrt{25 + 144}} = ± \frac{5x - 12y + 4}{\sqrt{25 + 144}}$
$\frac{5x + 12y + 24}{\sqrt{169}} = ± \frac{5x - 12y + 4}{\sqrt{169}}$
$\frac{5x + 12y + 24}{13} = ± \frac{5x - 12y + 4}{13}$
Знаменатели одинаковые, можно на них умножить.
5x + 12y + 24 = ±(5x – 12y + 4)
Если мы возьмем перед скобкой знак минус, то получим:
5x + 12y + 24 = –5x + 12y – 4
10x = –28
x = –2,8
Это вертикальная биссектриса тупого угла, показанная черной линией.
Она нам не подходит.

Если мы возьмем перед скобкой знак плюс, то получим:
5x + 12y + 24 = 5x – 12y + 4
24y = –20
y = –5/6
Это и есть нужная нам горизонтальная биссектриса острого угла.
Она показана зеленой линией.