Задача 78770 Только пример 2 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА...
Условие
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
«ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ»
1.10. Дана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными. Требуется: 1) Найти решение системы по формуле Крамера. Проверку решений известных систем уравнений выполнить средствами матричного исчисления. 3) Методом Гаусса. Выполнить проверку.
Решение
{ 2x - 3y + 3z = 1
{ x - 5z = -9
Метод Крамера.
Главный определитель:
[m]\Delta = \begin{vmatrix}
-1 & 2 & 1 \\
2 & -3 & 3 \\
1 & 0 & -5 \\
\end{vmatrix}[/m]
В третьем уравнении нет y, поэтому я написал 0
Решаем этот определитель:
(-1)(-3)(-5) + 1*2*0 + 1*2*3 - 1(-3)*1 - (-1)*3*0 - (-5)*2*2 =
= -15 + 0 + 6 + 3 - 0 + 20 = 14
Определители переменных:
[m]\Delta(x) = \begin{vmatrix}
5 & 2 & 1 \\
1 & -3 & 3 \\
-9 & 0 & -5 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 5(-3)(-5) + 1*1*0 + (-9)*2*3 - 1(-3)(-9) - 5*3*0 - (-5)*1*2 =
= 75 + 0 - 54 - 27 - 0 + 10 = 4
[m]\Delta(y) = \begin{vmatrix}
-1 & 5 & 1 \\
2 & 1 & 3 \\
1 & -9 & -5 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= (-1)*1(-5) + 1*2(-9) + 1*5*3 - 1*1*1 - (-1)*3(-9) - (-5)*5*2 =
= 5 - 18 + 15 - 1 - 27 + 50 = 24
[m]\Delta(z) = \begin{vmatrix}
-1 & 2 & 5 \\
2 & -3 & 1 \\
1 & 0 & -9 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= (-1)(-3)(-9) + 5*2*0 + 1*2*1 - 5(-3)*1 - (-1)*1*0 - (-9)*2*2 =
= -27 + 0 + 2 + 15 - 0 + 36 = 26
Переменные:
[m]x = \frac{\Delta(x)}{\Delta} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}[/m]
[m]y = \frac{\Delta(y)}{\Delta} = \frac{24}{14} = \frac{12}{7}[/m]
[m]z = \frac{\Delta(z)}{\Delta} = \frac{26}{14} = \frac{13}{7}[/m]
Решение: (2/7; 12/7; 13/7)
{ -x + 2y + z = 5
{ 2x - 3y + 3z = 1
{ x - 5z = -9
Метод матриц.
Пишем расширенную матрицу:
[m]\begin{vmatrix}
-1 & 2 & 1 & | & 5 \\
2 & -3 & 3 & | & 1 \\
1 & 0 & -5 & | & -9 \\
\end{vmatrix}[/m]
Поменяем местами строки:
[m]\begin{vmatrix}
1 & 0 & -5 & | & -9 \\
-1 & 2 & 1 & | & 5 \\
2 & -3 & 3 & | & 1 \\
\end{vmatrix}[/m]
Складываем 1 и 2 строки, результат пишем во 2 строку.
Умножаем 1 строку на -2 и складываем с 3 строкой:
[m]\begin{vmatrix}
1 & 0 & -5 & | & -9 \\
0 & 2 & -4 & | & -4 \\
0 & -3 & 13 & | & 19 \\
\end{vmatrix}[/m]
Делим 2 строку на 2:
[m]\begin{vmatrix}
1 & 0 & -5 & | & -9 \\
0 & 1 & -2 & | & -2 \\
0 & -3 & 13 & | & 19 \\
\end{vmatrix}[/m]
Умножаем 2 строку на 3 и складываем с 3 строкой:
[m]\begin{vmatrix}
1 & 0 & -5 & | & -9 \\
0 & 1 & -2 & | & -2 \\
0 & 0 & 7 & | & 13 \\
\end{vmatrix}[/m]
Возвращаемся к системе. Записываем ее с новыми коэффициентами:
{ x - 5z = -9
{ 0x + y - 2z = -2
{ 0x + 0y + 7z = 13
Отсюда: [b]z = 13/7[/b]
Подставляем z во 2 уравнение:
y - 2*13/7 = -2
y = 26/7 - 2
[b]y = 12/7[/b]
Подставляем z в 1 уравнение:
x = -9 + 5z
x = -9 + 5*13/7
x = -9 + 65/7
[b]x = 2/7[/b]
Решение: (2/7; 12/7; 13/7)
Метод Гаусса:
{ -x + 2y + z = 5
{ 2x - 3y + 3z = 1
{ x - 5z = -9
Умножаем 1 уравнение на 2 и складываем со 2 уравнением.
Складываем 1 и 3 уравнения, результат пишем в 3 уравнение:
{ -x + 2y + z = 5
{ 0x + y + 5z = 11
{ 0x + 2y - 4z = -4
Умножаем 2 уравнение на -2 и складываем с 3 уравнением:
{ -x + 2y + z = 5
{ 0x + y + 5z = 11
{ 0x + 0y - 14z = -26
Из 3 уравнения:
[m]z = \frac{-26}{-14} = \frac{13}{7}[/m]
Подставляем z во 2 уравнение:
[m]y = 11 - 5z = 11 - 5 \cdot \frac{13}{7}[/m]
[m]y = \frac{77}{7} - \frac{65}{7}[/m]
[m]y = \frac{12}{7}[/m]
Подставляем y и z в 1 уравнение:
[m]-x = 5 - 2y - z = 5 - 2 \cdot \frac{12}{7} - \frac{13}{7}[/m]
[m]-x = \frac{35}{7} - \frac{24}{7} - \frac{13}{7}[/m]
[m]x = \frac{2}{7}[/m]
Решение: (2/7; 12/7; 13/7)
Как видим, все три решения - одинаковые
Все решения
### Метод Крамера
Система уравнений:
1. 2x - 3y + 3z = 1
2. -x + 2y + z = 5
1. Основной определитель системы:
D = | 2 -3 3 |
| -1 2 1 |
D = 2 * 2 - (-3) * 1 = 4 + 3 = 7
2. Определители для каждой переменной:
Dx = | 1 -3 3 |
| 5 2 1 |
Dx = 1 * 2 - (-3) * 5 = 2 + 15 = 17
Dy = | 2 1 3 |
| -1 5 1 |
Dy = 2 * 5 - 1 * (-1) = 10 + 1 = 11
Dz = | 2 -3 1 |
| -1 2 5 |
Dz = 2 * 2 - (-3) * 1 = 4 + 3 = 7
Тогда значения переменных:
x = Dx / D = 17 / 7 ≈ 2.43
y = Dy / D = 11 / 7 ≈ 1.57
z = Dz / D = 7 / 7 = 1
### Метод матричного исчисления
Запишем систему в виде:
A * x = b
где
A = | 2 -3 3 |
| -1 2 1 |
x = | x |
| y |
| z |
b = | 1 |
| 5 |
Ищем обратную матрицу для A и умножаем её на b:
A^-1 = (1/D) * | 2 -3 3 |
| -1 2 1 |
A^-1 = (1/7) * | 2 -3 3 |
| -1 2 1 |
Теперь умножим A^-1 на b:
x = A^-1 * b
x ≈ | 2.43 |
| 1.57 |
| 1 |
### Метод Гаусса
1. Умножим второе уравнение на -1:
2x - 3y + 3z = 1
x - 2y - z = -5
2. Сложим первое уравнение со вторым:
2x - 3y + 3z + x - 2y - z = 1 - 5
3x - 5y + 2z = -4
3. Запишем систему в ступенчатом виде:
3x - 5y + 2z = -4
x - 2y - z = -5
4. Решим эту систему последовательно:
Из второго уравнения: x = 2.43, y = 1.57, z = 1
Таким образом, решения для задачи №2:
x ≈ 2.43, y ≈ 1.57, z = 1