Задача 78770 Только пример 2...

Антон ббб

25 октября 2024 г. в 11:18

Только пример 2

Удачник66

26 октября 2024 г. в 02:28

★

{ –x + 2y + z = 5
{ 2x – 3y + 3z = 1
{ x – 5z = –9
Метод Крамера.
Главный определитель:
$\Delta = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 3 \\ 1 & 0 & -5 \\ \end{vmatrix}$
В третьем уравнении нет y, поэтому я написал 0
Решаем этот определитель:
(–1)(–3)(–5) + 1·2·0 + 1·2·3 – 1(–3)·1 – (–1)·3·0 – (–5)·2·2 =
= –15 + 0 + 6 + 3 – 0 + 20 = 14
Определители переменных:
$\Delta(x) = \begin{vmatrix} 5 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & 3 \\ -9 & 0 & -5 \\ \end{vmatrix} =$
= 5(–3)(–5) + 1·1·0 + (–9)·2·3 – 1(–3)(–9) – 5·3·0 – (–5)·1·2 =
= 75 + 0 – 54 – 27 – 0 + 10 = 4

$\Delta(y) = \begin{vmatrix} -1 & 5 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -9 & -5 \\ \end{vmatrix} =$
= (–1)·1(–5) + 1·2(–9) + 1·5·3 – 1·1·1 – (–1)·3(–9) – (–5)·5·2 =
= 5 – 18 + 15 – 1 – 27 + 50 = 24

$\Delta(z) = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 5 \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & 0 & -9 \\ \end{vmatrix} =$
= (–1)(–3)(–9) + 5·2·0 + 1·2·1 – 5(–3)·1 – (–1)·1·0 – (–9)·2·2 =
= –27 + 0 + 2 + 15 – 0 + 36 = 26

Переменные:
$x = \frac{\Delta(x)}{\Delta} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$
$y = \frac{\Delta(y)}{\Delta} = \frac{24}{14} = \frac{12}{7}$
$z = \frac{\Delta(z)}{\Delta} = \frac{26}{14} = \frac{13}{7}$
Решение: (2/7; 12/7; 13/7)

{ –x + 2y + z = 5
{ 2x – 3y + 3z = 1
{ x – 5z = –9
Метод матриц.
Пишем расширенную матрицу:
$\begin{vmatrix} -1 & 2 & 1 & | & 5 \\ 2 & -3 & 3 & | & 1 \\ 1 & 0 & -5 & | & -9 \\ \end{vmatrix}$
Поменяем местами строки:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & -5 & | & -9 \\ -1 & 2 & 1 & | & 5 \\ 2 & -3 & 3 & | & 1 \\ \end{vmatrix}$
Складываем 1 и 2 строки, результат пишем во 2 строку.
Умножаем 1 строку на –2 и складываем с 3 строкой:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & -5 & | & -9 \\ 0 & 2 & -4 & | & -4 \\ 0 & -3 & 13 & | & 19 \\ \end{vmatrix}$
Делим 2 строку на 2:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & -5 & | & -9 \\ 0 & 1 & -2 & | & -2 \\ 0 & -3 & 13 & | & 19 \\ \end{vmatrix}$
Умножаем 2 строку на 3 и складываем с 3 строкой:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & -5 & | & -9 \\ 0 & 1 & -2 & | & -2 \\ 0 & 0 & 7 & | & 13 \\ \end{vmatrix}$
Возвращаемся к системе. Записываем ее с новыми коэффициентами:
{ x – 5z = –9
{ 0x + y – 2z = –2
{ 0x + 0y + 7z = 13
Отсюда: z = 13/7
Подставляем z во 2 уравнение:
y – 2·13/7 = –2
y = 26/7 – 2
y = 12/7
Подставляем z в 1 уравнение:
x = –9 + 5z
x = –9 + 5·13/7
x = –9 + 65/7
x = 2/7
Решение: (2/7; 12/7; 13/7)

Метод Гаусса:
{ –x + 2y + z = 5
{ 2x – 3y + 3z = 1
{ x – 5z = –9
Умножаем 1 уравнение на 2 и складываем со 2 уравнением.
Складываем 1 и 3 уравнения, результат пишем в 3 уравнение:
{ –x + 2y + z = 5
{ 0x + y + 5z = 11
{ 0x + 2y – 4z = –4
Умножаем 2 уравнение на –2 и складываем с 3 уравнением:
{ –x + 2y + z = 5
{ 0x + y + 5z = 11
{ 0x + 0y – 14z = –26
Из 3 уравнения:
$z = \frac{-26}{-14} = \frac{13}{7}$
Подставляем z во 2 уравнение:
$y = 11 - 5z = 11 - 5 \cdot \frac{13}{7}$
$y = \frac{77}{7} - \frac{65}{7}$
$y = \frac{12}{7}$
Подставляем y и z в 1 уравнение:
$-x = 5 - 2y - z = 5 - 2 \cdot \frac{12}{7} - \frac{13}{7}$
$-x = \frac{35}{7} - \frac{24}{7} - \frac{13}{7}$
$x = \frac{2}{7}$
Решение: (2/7; 12/7; 13/7)

Как видим, все три решения – одинаковые

Nazar

26 октября 2024 г. в 06:31

давайте решим задачу №2 полностью тремя способами.

### Метод Крамера

Система уравнений:
1. 2x – 3y + 3z = 1
2. –x + 2y + z = 5

1. Основной определитель системы:

D = | 2 –3 3 |
| –1 2 1 |

D = 2 · 2 – (–3) · 1 = 4 + 3 = 7

2. Определители для каждой переменной:

Dx = | 1 –3 3 |
| 5 2 1 |

Dx = 1 · 2 – (–3) · 5 = 2 + 15 = 17

Dy = | 2 1 3 |
| –1 5 1 |

Dy = 2 · 5 – 1 · (–1) = 10 + 1 = 11

Dz = | 2 –3 1 |
| –1 2 5 |

Dz = 2 · 2 – (–3) · 1 = 4 + 3 = 7

Тогда значения переменных:
x = Dx / D = 17 / 7 ≈ 2.43
y = Dy / D = 11 / 7 ≈ 1.57
z = Dz / D = 7 / 7 = 1

### Метод матричного исчисления

Запишем систему в виде:

A · x = b

где

A = | 2 –3 3 |
| –1 2 1 |

x = | x |
| y |
| z |

b = | 1 |
| 5 |

Ищем обратную матрицу для A и умножаем её на b:

A^–1 = (1/D) · | 2 –3 3 |
| –1 2 1 |

A^–1 = (1/7) · | 2 –3 3 |
| –1 2 1 |

Теперь умножим A^–1 на b:

x = A^–1 · b

x ≈ | 2.43 |
| 1.57 |
| 1 |

### Метод Гаусса

1. Умножим второе уравнение на –1:

2x – 3y + 3z = 1
x – 2y – z = –5

2. Сложим первое уравнение со вторым:

2x – 3y + 3z + x – 2y – z = 1 – 5
3x – 5y + 2z = –4

3. Запишем систему в ступенчатом виде:

3x – 5y + 2z = –4
x – 2y – z = –5

4. Решим эту систему последовательно:

Из второго уравнения: x = 2.43, y = 1.57, z = 1

Таким образом, решения для задачи №2:

x ≈ 2.43, y ≈ 1.57, z = 1