Задача 78768 Даны прямые l1 и l2 . Если прямые...

ненавижу геометрию

23 ноября 2024 г. в 08:20

Даны прямые l1 и l2 . Если прямые параллельны или пересекаются, то написать уравнение плоскости, содержащей прямые l1 и l2. Если прямые скрещиваются, то написать уравнение плоскости, которая содержит l1 и параллельна прямой l2.
l1: (x–1/–2)=(y+2/3)=(z–3/2)
l2: (x–3/–1)=(y+5/3)=(z+1/1)

Удачник66

24 ноября 2024 г. в 10:38

★

[m]l1: \frac{x-1}{-2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-3}{2}[/m]
[m]l2: \frac{x-3}{-1} = \frac{y+5}{3} = \frac{z+1}{1}[/m]
Если прямые параллельны, то их коэффициенты (знаменатели) пропорциональны.
(–2) : (–1) = 3 : 3 = 2 : 1
Это неверно, значит, они не параллельны.
Если прямые пересекаются, то следующий определитель равен 0:
[m]\begin{vmatrix}
x1 - x2 & y1 - y2 & z1 - z2 \\
m1 & n1 & p1 \\
m2 & n2 & p2 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
Подставляем числа:
[m]\begin{vmatrix}
1 - 3 & -2 - (-5) & 3 - (-1) \\
-2 & 3 & 2 \\
-1 & 3 & 1 \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
-2 & 3 & 4 \\
-2 & 3 & 2 \\
-1 & 3 & 1 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= (–2)·3·1 + 4·(–2)·3 + (–1)·3·2 – 4·3·(–1) – (–2)·2·3 – 1·3·(–2) =
= –6 – 24 – 6 + 12 + 12 + 6 = –6 ≠ 0
Значит, прямые скрещиваются.
Уравнение плоскости, которая содержит l1 и параллельна l2, можно представить в виде:
Ax + By + Cz + D = 0
Так как прямая l1 лежит в плоскости, то точка A(x1; y1; z1) лежит в плоскости:
A·x1 + B·y1 + C·z1 + D = 0
Нормальный вектор плоскости должен быть перпендикулярен направляющему вектору прямой l1, которая лежит в плоскости:
A·m1 + B·n1 + C·p1 = 0
Нормальный вектор плоскости также должен быть перпендикулярен направляющему вектору прямой l2, которая параллельна плоскости:
A·m2 + B·n2 + C·p2 = 0
Решаем систему из 3 уравнений с 4 неизвестными:
{ A·1 + B·(–2) + C·3 + D = 0
{ A·(–2) + B·3 + C·2 = 0
{ A·(–1) + B·3 + C·1 = 0
Запишем в обычном виде:
{ A – 2B + 3C + D = 0
{ –2A + 3B + 2C = 0
{ –A + 3B + C = 0
Решаем методом Гаусса.
Умножаем 1 уравнение на 2 и складываем со 2 уравнением.
Складываем 1 и 3 уравнения.
{ A – 2B + 3C + D = 0
{ 0A – B + 8C + D = 0
{ 0A + B + 4C + D = 0
Складываем 2 и 3 уравнения:
{ A – 2B + 3C + D = 0
{ 0A – B + 8C + D = 0
{ 0A + 0B + 12C + 2D = 0
3 уравнение делим на 2 и переносим C направо:
{ A – 2B + 3C + D = 0
{ – B + 8C + D = 0
{ D = –6C
Подставляем в 1 и 2 уравнения:
{ A – 2B + 3C – 6C = 0
{ – B + 8C – 6C = 0
{ D = –6C
Приводим подобные:
{ A – 2B – 3C = 0
{ – B + 2C = 0
{ D = –6C
Во 2 уравнении переносим B направо:
{ A – 2B – 3C = 0
{ B = 2C
{ D = –6C
Подставляем в 1 уравнение:
{ A – 4C – 3C = 0
{ B = 2C
{ D = –6C
Приводим подобные и переносим С направо:
{ A = 7C
{ B = 2C
{ D = –6C
Приняв C = 1, получаем уравнение плоскости:
7x + 2y + z – 6 = 0