Задача 78757 Доказать, что данная система векторов...

Ekler

19 ноября 2024 г. в 04:29

Доказать, что данная система векторов образует базис.

Удачник66

20 ноября 2024 г. в 04:26

★

Система векторов образует базис, если определитель из координат не равен 0.
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ -2 & 3 & -2 \\ 3 & -7 & -5 \\ \end{vmatrix} =$
= 1·3·(–5) + 5·(–2)·(–7) + 3·2·(–2) – 5·3·3 – 1·(–2)·(–7) – (–5)·2·(–2) =
= –15 + 70 + (–12) – 45 – 14 – 20 = –36 ≠ 0
Определитель не равен 0, значит, эти вектора образуют базис.
Координаты вектора x = (6; 16; 16) в этом базисе найдем из системы:
{ 1·a – 2·b + 3·c = 6
{ 2·a + 3·b – 7·c = 16
{ 3·a – 7·b – 5·c = 16
Умножаем 1 уравнение на –2 и складываем со 2 уравнением.
Умножаем 1 уравнение на –3 и складываем с 3 уравнением:
{ 1·a – 2·b + 3·c = 6
{ 0·a + 7·b – 13·c = 4
{ 0·a – b – 14·c = –2
Умножаем 3 уравнение на 7 и складываем со 2 уравнением:
{ 1·a – 2·b + 3·c = 6
{ 0·a + 7·b – 13·c = 4
{ 0·a + 0·b – 111·c = –10
c = –10/(–111) = 10/111
Подставляем во 2 уравнение:
7·b – 13·10/111 = 4
7·b = 4 + 130/111 = 574/111
b = 574/111 : 7 = 82/111
Подставляем в 1 уравнение:
a – 2·82/111 + 3·10/111 = 6
a = 666/111 + 164/111 – 30/111
a = 800/111

x = 800/111·e1 + 82/111·e2 + 10/111·e3