Задача 78757 Доказать, что данная система векторов...
Условие
Решение
[m]\begin{vmatrix}
1 & 2 & 5 \\
-2 & 3 & -2 \\
3 & -7 & -5 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 1*3*(-5) + 5*(-2)*(-7) + 3*2*(-2) - 5*3*3 - 1*(-2)*(-7) - (-5)*2*(-2) =
= -15 + 70 + (-12) - 45 - 14 - 20 = -36 ≠ 0
Определитель не равен 0, значит, эти вектора образуют базис.
Координаты вектора x = (6; 16; 16) в этом базисе найдем из системы:
{ 1*a - 2*b + 3*c = 6
{ 2*a + 3*b - 7*c = 16
{ 3*a - 7*b - 5*c = 16
Умножаем 1 уравнение на -2 и складываем со 2 уравнением.
Умножаем 1 уравнение на -3 и складываем с 3 уравнением:
{ 1*a - 2*b + 3*c = 6
{ 0*a + 7*b - 13*c = 4
{ 0*a - b - 14*c = -2
Умножаем 3 уравнение на 7 и складываем со 2 уравнением:
{ 1*a - 2*b + 3*c = 6
{ 0*a + 7*b - 13*c = 4
{ 0*a + 0*b - 111*c = -10
c = -10/(-111) = 10/111
Подставляем во 2 уравнение:
7*b - 13*10/111 = 4
7*b = 4 + 130/111 = 574/111
b = 574/111 : 7 = 82/111
Подставляем в 1 уравнение:
a - 2*82/111 + 3*10/111 = 6
a = 666/111 + 164/111 - 30/111
a = 800/111
x = 800/111*e1 + 82/111*e2 + 10/111*e3