Задача 78752 Исследовать на непрерывность функцию y =...

Виктория_325923053

18 ноября 2024 г. в 04:24

Исследовать на непрерывность функцию y = f(x), найти
точки разрыва и определить их род. Построить схематический график
функции

Удачник66

18 ноября 2024 г. в 05:07

★

f(x) = x·ctg x = x·cos x/sin x
Это периодическая функция с периодом π.
Она имеет разрывы в точках, где sin x = 0
sin x ≠ 0
x ≠ π·k, k ∈ Z
Только при x = 0 разрыва нет, потому что:
[m]\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1[/m]
Поэтому:
[m]\lim \limits_{x \to 0} \frac{x \cdot \cos x}{\sin x} = 1 \cdot \cos 0 = 1[/m]

График прилагается.
Асимптоты показаны вертикальными линиями.