Задача 78751 Дано комплексное число z. Требуется: 1)...
Условие
1) записать число z в алгебраической, тригонометрической и
показательной формах;
2) найти все корни уравнения w3+z=0, изобразить эти корни на плоскости
комплексной переменной.
Решение
1) Сначала приведём его к аналитической форме z = a + b*i:
[m]\large z = \frac{1}{\sqrt{3}+i} = \frac{\sqrt{3}-i}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)} = \frac{\sqrt{3}-i}{3-i^2} = \frac{\sqrt{3}-i}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{4} \cdot i[/m]
[m]\large a = \frac{\sqrt{3}}{4};\ \ b= -\frac{1}{4}[/m]
[m]|z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{4})^2 + (-\frac{1}{4})^2} = \sqrt{\frac{3}{16} + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{4}{16}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}[/m]
[m]\large arg(z) = arctg \frac{b}{a} = arctg (- \frac{1}{4} : \frac{\sqrt{3}}{4}) = arctg (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{5\pi}{6}[/m]
Число z в тригонометрической форме:
[m]z = |z| \cdot (\cos arg(z) + i \cdot \sin arg(z)) = \frac{1}{2} \cdot (\cos \frac{5\pi}{6} + i \cdot \sin \frac{5\pi}{6})[/m]
Число z в показательной форме:
[m]\large z = |z| \cdot e^{i \cdot arg(z)} = \frac{1}{2} \cdot e^{i \cdot 5\pi/6}[/m]
2) Уравнение:
w^3 + z = 0
w^3 = -z
[m]\large w^3 = \frac{1}{2} \cdot (-\cos \frac{5\pi}{6} - i \cdot \sin \frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2} \cdot (\cos \frac{11\pi}{6} + i \cdot \sin \frac{11\pi}{6})[/m]
Согласно формуле Муавра для извлечения корней:
[m]\large w = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \cdot (\cos \frac{11\pi/6+2\pi \cdot k}{3} + i \cdot \sin \frac{11\pi/6+2\pi \cdot k}{3})[/m]
[m]\large w_0 = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot (\cos \frac{11\pi}{18} + i \cdot \sin \frac{11\pi}{18})[/m] [b](при k = 0)[/b]
[m]\large w_1 = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot (\cos \frac{23\pi}{18} + i \cdot \sin \frac{23\pi}{18})[/m] [b](при k = 1)[/b]
[m]\large w_2 = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot (\cos \frac{35\pi}{18} + i \cdot \sin \frac{35\pi}{18})[/m] [b](при k = 2)[/b]