Задача 78749 ...
Условие
1.5. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 1
ИДЗ-1.1
1. Для данного определителя Δ найти миноры и алгебраические дополнения элементов a₁₂, a₃₃. Вы-
числить определитель Δ: а) разложив его по элемен-
там i-й строки; б) разложив его по элементам j-го столбца;
в) получив предварительно нули в i-й строке.
Решение
2 & 0 & -1 & 3 \\
6 & 3 & -9 & 0 \\
0 & 2 & -1 & 3 \\
4 & 2 & 0 & 6 \\
\end{vmatrix}[/m]
[b]i = 3; j = 3[/b]
Минор M_(i2) = M_(32)
[m]M_{32}=\begin{vmatrix}
2 & -1 & 3 \\
6 & -9 & 0 \\
4 & 0 & 6 \\
\end{vmatrix}[/m]
Алгебраическое дополнение A_(32)
[m]A_{32} = (-1)^{3+2} \cdot M_{32} =[/m]
= (-1)*[2*(-9)*6 + 3*6*0 + 4*(-1)*0 - 3*(-9)*4 - 2*0*0 - 6*(-1)*6] =
= -[-108 + 0 + 0 + 108 - 0 + 36] = -36
[b]A_(32) = -36[/b]
Минор M_(3j) = M_(33)
[m]M_{33} = \begin{vmatrix}
2 & 0 & 3 \\
6 & 3 & 0 \\
4 & 2 & 6 \\
\end{vmatrix}[/m]
Алгебраическое дополнение A_(33)
[m]A_{33} = (-1)^{3+3} \cdot M_{33} =[/m]
= 1*[2*3*6 + 3*6*2 + 4*0*0 - 3*3*4 - 2*0*2 - 6*0*6] =
= 36 + 36 + 0 - 36 - 0 - 0 = 36
[b]A_(33) = 36[/b]
а) Найти Δ, разложив его по элементам i = 3 строки:
[m]\Delta = \begin{vmatrix}
2 & 0 & -1 & 3 \\
6 & 3 & -9 & 0 \\
0 & 2 & -1 & 3 \\
4 & 2 & 0 & 6 \\
\end{vmatrix} = [/m]
[m]=0 \cdot \begin{vmatrix}
0 & -1 & 3 \\
3 & -9 & 0 \\
2 & 0 & 6 \\
\end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix}
2 & -1 & 3 \\
6 & -9 & 0 \\
4 & 0 & 6 \\
\end{vmatrix} + [/m]
[m] + (-1) \cdot \begin{vmatrix}
2 & 0 & 3 \\
6 & 3 & 0 \\
4 & 2 & 6 \\
\end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix}
2 & 0 & -1 \\
6 & 3 & -9 \\
4 & 2 & 0 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 0 - 2(2*(-9)*6 + 3*6*0 + 4*(-1)*0 - 3*(-9)*4 - 2*0*0 - 6*(-1)*6) -
- (2*3*6 + 3*6*2 + 4*0*0 - 3*3*4 - 2*0*2 - 6*0*6) -
- 3*(2*3*0 + (-1)*6*2 + 4*0*9 - (-1)*3*4 - 2*(-9)*2 - 0*0*6) =
= -2*(-108 + 0 + 0 + 108 - 0 + 36) - (36 + 36 + 0 - 36 - 0 - 0) -
- 3*(0 - 12 + 0 + 12 + 36 - 0) = -2*36 - 36 - 3*36 = -216
б) Найти Δ, разложив его по элементам j = 3 столбца.
[m]\Delta = \begin{vmatrix}
2 & 0 & -1 & 3 \\
6 & 3 & -9 & 0 \\
0 & 2 & -1 & 3 \\
4 & 2 & 0 & 6 \\
\end{vmatrix} = [/m]
[m]=(-1) \cdot \begin{vmatrix}
6 & 3 & 0 \\
0 & 2 & 3 \\
4 & 2 & 6 \\
\end{vmatrix} - (-9) \cdot \begin{vmatrix}
2 & 0 & 3 \\
0 & 2 & 3 \\
4 & 2 & 6 \\
\end{vmatrix} + [/m]
[m] + (-1) \cdot \begin{vmatrix}
2 & 0 & 3 \\
6 & 3 & 0 \\
4 & 2 & 6 \\
\end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix}
2 & 0 & 3 \\
6 & 3 & 0 \\
0 & 2 & 3 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= - (6*2*6 + 0*0*2 + 4*3*3 - 0*2*4 - 6*2*3 - 6*3*0) +
+ 9*(2*2*6 + 3*0*2 + 4*0*3 - 3*2*4 - 2*2*3 - 6*0*0) -
- (2*3*6 + 3*6*2 + 4*0*0 - 3*3*4 - 2*0*2 - 6*0*6) - 0 =
= -(72 + 0 + 36 - 0 - 36 - 0) + 9*(24 + 0 + 0 - 24 - 12 - 0) -
- (36 + 36 + 0 - 36 - 0 - 0) - 0 = -72 - 108 - 36 = -216
в) Найти Δ, получив предварительно нули в i = 3 строке.
[m]\Delta = \begin{vmatrix}
2 & 0 & -1 & 3 \\
6 & 3 & -9 & 0 \\
0 & 2 & -1 & 3 \\
4 & 2 & 0 & 6 \\
\end{vmatrix} =[/m]
Умножаем 3 столбец на 2 и складываем со 2 столбцом.
[m]\Delta = \begin{vmatrix}
2 & -2 & -1 & 3 \\
6 & -15 & -9 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 3 \\
4 & 2 & 0 & 6 \\
\end{vmatrix} =[/m]
Умножаем 3 столбец на 3 и складываем с 4 столбцом.
[m]\Delta = \begin{vmatrix}
2 & -2 & -1 & 0 \\
6 & -15 & -9 & -27 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
4 & 2 & 0 & 6 \\
\end{vmatrix} =[/m]
Находим определитель разложением по 3 строке.
Все слагаемые булут равны 0, кроме одного.
[m]= (-1) \cdot \begin{vmatrix}
2 & -2 & 0 \\
6 & -15 & -27 \\
4 & 2 & 6 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= (-1)*(2*(-15)*6 + 0*6*2 + 4*(-2)*(-27) - 0*(-15)*4 - 2*2*(-27) - 6*(-2)*6) =
= - (-180 + 0 + 216 - 0 + 108 + 72) = -(-180 + 216 + 180) = -216
[b]Ответ: Δ = -216[/b]