Задача 78746 Решить логарифмические системы уравнение...

65340659cb334f3437d1546b

11/16/2024 12:23:01 PM

Решить логарифмические системы уравнение 1)Iog1/3 (3x-y)=Iog1/3 (x+4); Iog9 (x^2+x-y)=Iog9 x^2 2)(1/2)^x*(корень из 2)^y=Iog9 3; Iog4 y-Iog4 x=1

626fab9a354ab65fb2f43abb

11/16/2024 3:24:28 PM

★

1)
{ Iog_(1/3) (3x–y) = Iog_(1/3) (x+4)
{ Iog_(9) (x^2+x–y) = Iog_(9) x^2
Область определения функции логарифма:
{ 3x - y > 0
{ x + 4 > 0
{ x^2 + x - y > 0
{ x^2 > 0
Из 2 и 4 уравнения:
x ∈ (-4; 0) U (0; +oo)
Из 1 и 3 уравнения:
{ y < 3x
{ y < x^2 + x
Найти область определения для y трудно, проще найти x и подставить потом.
В обоих уравнениях логарифмы с одинаковыми основаниями, можно их убрать:
{ 3x – y = x + 4
{ x^2 + x – y = x^2
Приводим подобные:
{ 2x = y + 4
{ x = y
Подставляем 2 уравнение в 1 уравнение:
2x = x + 4
x = 4 ∈ (-4; 0) U (0; +oo) - подходит.
y = x = 4, проверяем область определения:
{ 4 < 3*4 - верно
{ 4 < 4^2 + 4 - верно.
Ответ: x = 4; y = 4

2)
{ [m]\frac{1}{2} \cdot (\sqrt{2})^{y} = \log_9 (3)[/m]
{ [m] \log_4 (y) – \log_4 (x) = 1[/m]
Область определения:
{ x > 0
{ y > 0
Заметим, что:
[m]\log_9 (3) = \sqrt{2}[/m]
[m]\log_4 (y) – \log_4 (x) = \log_4 (\frac{y}{x})[/m]
Подставляем:
{ [m]\frac{(\sqrt{2})^{y}}{(\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{2}[/m]
{ [m]\log_4 (\frac{y}{x}) = \log_4 (4)[/m]
Упрощаем:
{ [m]\sqrt{2}^{y-2} = \sqrt{2}[/m]
{ [m]\frac{y}{x} = 4[/m]
Основания степеней в 1 уравнении одинаковые, приравниваем степени:
{ y - 2 = 1
{ y/x = 4
Решаем:
{ y = 3 > 0 - подходит
{ x = 3/4 - подходит
Ответ: x = 3/4; y = 3