Задача 78745 Существует ли такое натуральное число,...

Алек

16 ноября 2024 г. в 09:18

Существует ли такое натуральное число, что если сумму этого числа и его квадрата увеличить на 1, результат будет делиться на 2025?

626fab9a354ab65fb2f43abb

16 ноября 2024 г. в 09:31

★

n + n² + 1 = 2025·k
n² + n + (1 – 2025·k) = 0
Решаем квадратное уравнение:
D = 1² – 4·1(1 – 2025·k) = 1 – 4 + 8100·k = 8100·k – 3
n = (–1 ± √8100·k – 3)/2
Чтобы n получилось натуральным, D должно быть квадратом.
Но выражение 8100·k заканчивается на 0, а (8100·k – 3) заканчивается на 7.
Однако, квадрат целого числа не может заканчиваться на 7.
Поэтому ответ:
Таких натуральных чисел нет.