Задача 78738 Написать уравнение прямой, проходящей...

Евгения_541547512

15 ноября 2024 г. в 07:38

Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(1,4, –1) и параллельной прямой x+y=2, y=2z+1

Удачник66

15 ноября 2024 г. в 04:23

★

Дано: Точка M(1, 4, –1)
Прямая как линия пересечения плоскостей:
{ x + y = 2
{ y = 2z + 1
Найти: уравнение прямой, проходящей через т. М и параллельной данной прямой.

Решение.
Запишем уравнения плоскостей в общем виде:
{ x + 2y + 0z – 2 = 0
{ 0x + y – 2z – 1 = 0
Возьмем, например, z = 0 и найдем точку на этой прямой:
{ x + 2y + 0 – 2 = 0
{ 0x + y – 0 – 1 = 0
Получаем:
y = 1; x = 0
A(0; 1; 0)

Возьмем, например, z = 1 и найдем точку на этой прямой:
{ x + 2y + 0 – 2 = 0
{ 0x + y – 2 – 1 = 0
Получаем:
y = 3; x = –4
B(–4; 3; 1)

Строим каноническое уравнение прямой по двум точкам:
$\frac{x-0}{-4-0} = \frac{y-1}{3-1} = \frac{z-0}{1-0}$
$(AB):\ \frac{x}{-4} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{1}$

Если нужная нам прямая параллельна этой прямой, то все коэффициенты (знаменатели дробей) будут такими же, как у этой прямой.
А так как она проходит через M(1; 4; –1), то в числителях будем вычитать эти числа:
$(MN):\ \frac{x-1}{-4} = \frac{y-4}{2} = \frac{z+1}{1}$