Задача 78734 Не могу понять, можно ли просто убрать...
Условие
Решение
Конечно, нельзя просто так убрать логарифмы!
Разность логарифмов равна логарифму дроби:
[m]\large \log_5 \frac{3x^2-2}{x} < \log_5 (3x^2 + \frac{1}{x} - 3)[/m]
Справа приведём всё к одной дроби:
[m]\large \log_5 \frac{3x^2-2}{x} < \log_5 \frac{3x^3+1-3x}{x}[/m]
Вот теперь можно убирать логарифмы.
Так как основание логарифма 5 > 1, то при переходе от логарифмов к выражениям под ними знак неравенства остается:
[m]\large \frac{3x^2-2}{x} < \frac{3x^3+1-3x}{x}[/m]
Переносим всё направо:
[m]\large 0 < \frac{3x^3+1-3x}{x} - \frac{3x^2-2}{x}[/m]
Вычтем дроби с одинаковым знаменателем и запишем в более привычном виде:
[m]\large \frac{3x^3+1-3x-3x^2+2}{x} > 0[/m]
[m]\large \frac{3x^3-3x^2-3x+3}{x} > 0[/m]
Делим на 3 левую и правую часть неравенства:
[m]\large \frac{x^3-x^2-x+1}{x} > 0[/m]
Раскладываем числитель на множители:
[m]\large \frac{(x - 1)(x^2 - 1)}{x} > 0[/m]
[m]\large \frac{(x - 1)^2(x + 1)}{x} > 0[/m]
Очевидно, x ≠ 1, потому что иначе левая часть равна 0.
При любом x ≠ 1 будет (x - 1)^2 > 0, на неё можно разделить:
[m]\large \frac{(x + 1)}{x} > 0[/m]
x ∈ (-oo; -1) U (0; +oo)
С учётом условия x ≠ 1 получаем:
x ∈ (-oo; -1) U (0; 1) U (1; +oo)