Задача 78722 Решите уравнение ...
Условие
Решение
cos 4x + sin 2x = 0; 90 < x < 180
Нам надо перевести сумму в произведение. Формулы:
sin (90 - a) = cos a
[m]\cos a + \cos b = 2\cos (\frac{a+b}{2}) \cdot \cos (\frac{a-b}{2})[/m]
Подставляем:
[m]\cos 4x + \cos (90-2x) = 0[/m]
[m]2\cos (\frac{4x+90-2x}{2}) \cdot \cos (\frac{4x-90+2x}{2}) = 0[/m]
[m]2\cos (x+45) \cdot \cos (3x-45) = 0[/m]
Если произведение равно 0, то один из множителей равен 0.
1) cos (x + 45) = 0
x + 45 = 90 + 180*k, k ∈ Z
[b]x1 = 45 + 180*k, k ∈ Z[/b]
2) cos (3x - 45) = 0
3x - 45 = 90 + 180*n, n ∈ Z
3x = 135 + 180*n, n ∈ Z
[b]x2 = 45 + 60*n, n ∈ Z[/b]
Корни на промежутке 90 < x < 180:
x1 = 45 + 60 = 105
x2 = 45 + 120 = 165
Остальные решаются точно также. Вспомогательные формулы:
cos(90 - a) = sin a
[m]\sin a + \sin b = 2\sin (\frac{a+b}{2}) \cdot \cos (\frac{a-b}{2})[/m]
[m]\sin a - \sin b = 2\sin (\frac{a-b}{2}) \cdot \cos (\frac{a+b}{2})[/m]
[m]\cos a - \cos b = -2\sin (\frac{a+b}{2}) \cdot \sin (\frac{a-b}{2})[/m]