Задача 78715 Для следующих кривых второго порядка: 1)...

Nozima

11 ноября 2024 г. в 04:56

Для следующих кривых второго порядка:
1) Определите тип;
2) Сделайте это каноническим;
3) найти все характеристики (директриса, фокус, эксцентриситет, асимптоты и т. д.)k.);
4) нарисуйте форму.

Удачник66

11 ноября 2024 г. в 09:40

★

Элементарные задания, тут даже члена, содержащего xy, нет.
a) 4x² + 3y² – 8x + 12y – 32 = 0
4x² – 8x + 4 – 4 + 3y² + 12y + 12 – 12 – 32 = 0
Выделяем полные квадраты:
4(x² – 2x + 1) – 4 + 3(y² + 4y + 4) – 12 – 32 = 0
4(x – 1)² + 3(y + 2)² = 48
Делим всё уравнение на 48:
(x – 1)²/12 + (y + 2)²/16 = 1
Это эллипс с центром A(1; –2),
Полуоси a = √12; b = 4,
Так как a < b, то:
c = √b² – a² = √16 – 12 = √4 = 2
Эксцентриситет: ε = c/b = 2/4 = 0,5
Фокусы: F1(x0; y0 – с) = F1(1; –4); F2(x0; y0 + с) = F2(1; 0)
Директрисы: y1 = y0 – b/ε; y2 = y0 + b/ε
y1 = –2 – 4/0,5 = –2 – 8 = –10; y2 = –2 + 4/0,5 = –2 + 8 = 6
Смотрите Рис. 1. Директрисы показаны голубым цветом.

b) 4x² – 25y² – 24x – 100y – 164 = 0
4x² – 24x + 36 – 36 – 25y² – 100y – 100 + 100 – 164 = 0
Выделяем полные квадраты:
4(x² – 6x + 9) – 36 – 25(y² + 4y + 4) + 100 – 164 = 0
4(x – 3)² – 25(y + 2)² = 100
Делим всё уравнение на 100:
(x – 3)²/25 – (y + 2)²/4 = 1
Это гипербола с центром A(3; –2)
Полуоси a = 5; b = 2
Так как a > b, то:
c = √b² + a² = √4 + 25 = √29
Эксцентриситет: ε = c/a = √29/5
Фокусы: F1(x0 – с; y0) = F1(3 – √29; –2); F2(x0 + с; y0) = F2(3 + √29; –2)
Директрисы: x1 = x0 – a/ε; x2 = x0 + a/ε
x1 = 3 – 5 : (√29/5) = 3 – 25/√29 = (87 – 25√29)/29 ≈ –1,64;
x2 = 3 + 5 : (√29/5) = 3 + 25/√29 = (87 + 25√29)/29 ≈ 7,64
Асимптоты: y1 = y0 – b/a·x; y2 = y0 + b/a·x
y1 = –2 – 2/5·(x – x0) = –0,4·(x – 3) – 2 = –0,4·x – 0,8;
y2 = –2 + 2/5·( – x0)x = 0,4·(x – 3) – 2 = 0,4·x – 3,2
Смотрите Рис. 2. Директрисы показаны голубым цветом.
Асимптоты показаны красным цветом.