Задача 78706 Sin5x+cos4x=0, 270 < x < 360 ...
Условие
Решение
Формула приведения: cos a = sin (90° - a)
sin 5x + sin (90° - 4x) = 0
Формула суммы синусов:
[m]\sin a + \sin b = 2\sin \frac{a+b}{2} \cdot \cos \frac{a-b}{2}[/m]
[m]2\sin \frac{5x+90°-4x}{2} \cdot \cos \frac{5x-90°+4x}{2} = 0[/m]
[m]2\sin \frac{x+90°}{2} \cdot \cos \frac{9x-90°}{2} = 0[/m]
Если произведение равно 0, то один из множителей равен 0.
1) [m]\sin \frac{x+90°}{2} = 0[/m]
(x + 90°)/2 = 180°*k; k ∈ Z
x + 90° = 360°*k; k ∈ Z
x1 = -90° + 360°*k; k ∈ Z
2) [m]\cos \frac{9x-90°}{2} = 0[/m]
(9x - 90°)/2 = 90° + 180°*n; n ∈ Z
9x - 90° = 180° + 360°*n; n ∈ Z
9x = 270° + 360°*n; n ∈ Z
x2 = 30° + 40°*n; n ∈ Z
Решения на промежутке x ∈ [270°; 360°]:
x1 = -90° + 360° = 270°
x2 = 30° + 40°*7 = 30° + 280° = 310°
x3 = 30° + 40°*8 = 30° + 320° = 350°
Ответ: Общее решение:
x1 = -90° + 360°*k; k ∈ Z; x2 = 30° + 40°*n; n ∈ Z
Решения на промежутке:
x1 = 270°; x2 = 310°; x3 = 350°