30 октября 2024 г. в 07:48
★
··Канонические формы уравнений второго порядка·· 1. Уравнение a): y + 5x2 – 10x – 3 = 0 Переписываем уравнение: y = –5x2 + 10x + 3 Завершим квадрат для x: –5(x2 – 2x) + 3 = –5((x – 1)2 – 1) + 3 Это равно: –5(x – 1)2 + 5 + 3 = –5(x – 1)2 + 8 Каноническая форма: y = –5(x – 1)2 + 8 2. Уравнение б): 16x2 + 25y2 – 32x + 50y – 359 = 0 Переписываем уравнение: 16x2 – 32x + 25y2 + 50y – 359 = 0 Завершим квадрат для x: 16(x2 – 2x) = 16((x – 1)2 – 1) Это равно: 16(x – 1)2 – 16 Завершим квадрат для y: 25(y2 + 2y) = 25((y + 1)2 – 1) Это равно: 25(y + 1)2 – 25 Подставляя обратно, получаем: 16(x – 1)2 – 16 + 25(y + 1)2 – 25 – 359 = 0 Упрощаем: 16(x – 1)2 + 25(y + 1)2 – 400 = 0 Переписываем: 16(x – 1)2 + 25(y + 1)2 = 400 Делим на 400: (x – 1)2/25 + (y + 1)2/16 = 1 Каноническая форма: (x – 1)2/25 + (y + 1)2/16 = 1 ––– ··Итоги··: Первое уравнение представляет собой параболу, открывающуюся вниз, с вершиной в точке (1, 8). Второе уравнение описывает эллипс, центрированный в (1, –1), с полуосью 5 (в направлении x) и полуосью 4 (в направлении y).
Обсуждения
