Задача 78698 Решить задачу даю 50 баллов...
Условие
Решение
Давайте решим задачу шаг за шагом:
··Даны вершины треугольника:··
– A(–5, –2)
– B(0, –4)
– C(5, 7)
### 1. Уравнение стороны AB
Воспользуемся формулой для нахождения углового коэффициента (m):
m = (y2 – y1) / (x2 – x1).
Для точек A и B:
– y1 = –2, y2 = –4, x1 = –5, x2 = 0.
m = (–4 + 2) / (0 + 5) = –2 / 5.
Теперь подставим в уравнение прямой:
y – y1 = m(x – x1):
y + 2 = –2/5 (x + 5).
Умножим на 5, чтобы избавиться от дробей:
5(y + 2) = –2(x + 5),
5y + 10 = –2x – 10.
Преобразуем уравнение:
2x + 5y + 20 = 0.
··Уравнение стороны AB:··
2x + 5y + 20 = 0.
### 2. Уравнение высоты CH
Сначала найдем угловой коэффициент высоты CH, который будет перпендикулярен стороне AB. Обратный угловой коэффициент будет:
m' = –1/m = 5/2.
Уравнение высоты через точку C(5, 7):
y – 7 = 5/2(x – 5).
Умножим на 2:
2(y – 7) = 5(x – 5),
2y – 14 = 5x – 25.
Упрощаем:
5x – 2y + 11 = 0.
··Уравнение высоты CH:··
5x – 2y + 11 = 0.
### 3. Уравнение медианы AK
Сначала найдем координаты точки K (середины отрезка BC):
K = ((xB + xC)/2, (yB + yC)/2) = ((0 + 5)/2, (–4 + 7)/2) = (2.5, 1.5).
Теперь найдем угловой коэффициент AK:
mK = (yK – yA) / (xK – xA) = (1.5 + 2) / (2.5 + 5) = 3.5 / 7.5 = 7/15.
Уравнение медианы AK:
y – (–2) = (7/15)(x – (–5)),
y + 2 = (7/15)(x + 5).
Умножим на 15:
15(y + 2) = 7(x + 5),
15y + 30 = 7x + 35.
Преобразуем:
7x – 15y + 5 = 0.
··Уравнение медианы AK:··
7x – 15y + 5 = 0.
### 4. Точка пересечения медианы AK с высотой CH
Теперь решим систему уравнений:
1) 5x – 2y + 11 = 0,
2) 7x – 15y + 5 = 0.
Решим первое уравнение для y:
2y = 5x + 11,
y = (5x + 11) / 2.
Подставим это выражение во второе уравнение:
7x – 15((5x + 11)/2) + 5 = 0.
Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби:
14x – 15(5x + 11) + 10 = 0,
14x – 75x – 165 + 10 = 0,
–61x – 155 = 0,
61x = –155,
x = –155 / 61 ≈ –2.54.
Теперь найдем y:
y = (5(–2.54) + 11) / 2 = (–12.7 + 11) / 2 = –0.85.
··Точка пересечения медианы AK с высотой CH:··
(–2.54, –0.85).