Задача 78695 Доказать, что векторыa, b, c образуют...

672f0e9a5a00e67c51d41259

11/9/2024 7:27:06 AM

Доказать, что векторыa, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе. Векторы a=(1, -1, 0), b=(0, 1,-1), c=(0, 0,1), d=(2, -1, 0)

626fab9a354ab65fb2f43abb

11/9/2024 9:51:25 AM

★

a=(1; –1; 0), b=(0; 1; –1), c=(0; 0; 1), d=(2; –1; 0)
Чтобы доказать, что три вектора образуют базис, нужно составить из них матрицу
Если определитель этой матрицы не равен 0, то это базис.
[m]\begin{vmatrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 1*1*1 + 0*0*0 + 0(-1)(-1) - 0*1*0 - 1*0(-1) - 1*0(-1) = 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1
Определитель не равен 0, значит, вектора (a; b; c) - это базис.

Чтобы найти координаты вектора d в базисе (a; b; c), решим систему:
{ 1*x + 0*y + 0*z = 2
{ -1*x + 1*y + 0*z = -1
{ 0*x + (-1)*y + 1*z = 0
Решаем:
{ x = 2
{ -2 + y = -1; y = -1 + 2 = 1
{ -y + z = 0; z = 0 + y = 1
Получаем:
d = 2a + b + c
Проверяем:
2a + b + c = (2*1 + 0 + 0; 2(-1) + 1 + 0; 2*0 + 0 + 1*1) = (2; -1; 1) = d
Всё правильно.

Ответ: d = 2a + b + c