Задача 78695 Доказать, что векторыa, b, c образуют...

Анна-И-Ренат_293469529

9 ноября 2024 г. в 07:27

Доказать, что векторыa, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе. Векторы a=(1, –1, 0), b=(0, 1,–1), c=(0, 0,1), d=(2, –1, 0)

Удачник66

9 ноября 2024 г. в 09:51

★

a=(1; –1; 0), b=(0; 1; –1), c=(0; 0; 1), d=(2; –1; 0)
Чтобы доказать, что три вектора образуют базис, нужно составить из них матрицу
Если определитель этой матрицы не равен 0, то это базис.
$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{vmatrix} =$
= 1·1·1 + 0·0·0 + 0(–1)(–1) – 0·1·0 – 1·0(–1) – 1·0(–1) = 1 + 0 + 0 – 0 – 0 – 0 = 1
Определитель не равен 0, значит, вектора (a; b; c) – это базис.

Чтобы найти координаты вектора d в базисе (a; b; c), решим систему:
{ 1·x + 0·y + 0·z = 2
{ –1·x + 1·y + 0·z = –1
{ 0·x + (–1)·y + 1·z = 0
Решаем:
{ x = 2
{ –2 + y = –1; y = –1 + 2 = 1
{ –y + z = 0; z = 0 + y = 1
Получаем:
d = 2a + b + c
Проверяем:
2a + b + c = (2·1 + 0 + 0; 2(–1) + 1 + 0; 2·0 + 0 + 1·1) = (2; –1; 1) = d
Всё правильно.

Ответ: d = 2a + b + c