Задача 78678 Довести, що чотирикутник АВСD з...

згзгжгж

7 ноября 2024 г. в 04:51

Довести, що чотирикутник АВСD з вершинами А(–5; 1), В(–2; 4), С(6; –2), D(3; –5)
є прямокутником.

u821511235

7 ноября 2024 г. в 06:41

★

А(–5; 1), В(–2; 4), С(6; –2), D(3; –5).
Докажем сначала, что АВСD – параллелограмм, используя признак параллелограмма: если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Найдем координаты середины диагонали АС:
х=(–5+6)/2=1/2,
у=(1–2)/2=–1/2.
Найдем координаты середины диагонали ВD:
х=(–2+3)/2=1/2,
у=(4–5)/2=–1/2.
Так как координаты середин диагоналей совпадает, то диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит, АВСD – параллелограмм.
Докажем теперь, что АВСD – прямоугольник, используя признак прямоугольника: если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник:
АС=√(6+5)²+(–2–1)²=√121+9=√130,
BD=√(3+2)²+(–5–4)²=√25+81=√106.
Так как АС ≠ BD, то параллелограмм АВСD не является прямоугольником.