Задача 78669 дана прямая 2х+3y+4=0 составить...
Условие
Решение
Найти:
Уравнение прямой, проходящей через точку М под углом φ к данной прямой.
Решение:
Запишем уравнение прямой в таком виде:
A(x - x0) + B(y - y0) = 0
Где А, В - неизвестные коэффициенты, x0, y0 - координаты т. М.
A(x + 1) + B(y - 1) = 0
Косинус угла между прямыми можно найти по формуле:
[m]\cos \phi = \frac{A1 \cdot A2 + B1 \cdot B2}{\sqrt{A1^2 + B1^2} \cdot \sqrt{A2^2 + B2^2}} = \frac{2 \cdot A + 3 \cdot B}{\sqrt{2^2 + 3^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{2 \cdot A + 3 \cdot B}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{A^2 + B^2}} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}[/m]
Получили пропорцию:
[m]\frac{2 \cdot A + 3 \cdot B}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}[/m]
Решаем ее по основному свойству пропорции:
(2*A + 3*B)*2 = sqrt(13)*sqrt(A^2 + B^2)*sqrt(2)
Возводим в квадрат обе части. Это можно делать, потому что обе части положительные:
4(4A^2 + 12AB + 9B^2) = 13(A^2 + B^2)*2
Разделим обе части на 2:
8A^2 + 24AB + 18B^2 = 13A^2 + 13B^2
Перенесем всё направо:
0 = 5A^2 - 24AB - 5B^2
Делим на B^2 ≠ 0:
5(A/B)^2 - 24(A/B) - 5 = 0
Замена t = A/B
5t^2 - 24t - 5 = 0
Получили квадратное уравнение:
D/4 = 12^2 - 5(-5) = 144 + 25 = 169 = 13^2
1) t1 = (12 - 13)/5 = -1/5
A/B = -1/5
A1 = -1; B1 = 5
Уравнение прямой:
-(x + 1) + 5(y - 1) = 0
Умножим обе части на -1:
[b]x - 5y + 6 = 0[/b]
2) t2 = (12 + 13)/5 = 25/5 = 5
A/B = 5
A = 5; B = 1
Уравнение прямой:
5(x + 1) + 1(y - 1) = 0
[b]5x + y + 4 = 0[/b]
Обе эти прямых проходят через точку М под углом 45° к заданной прямой.