Задача 78657 Возникла проблема с данным примером...
Условие
Решение
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & -1 \\
0 & 1 & 4 \\
\end{pmatrix}[/m]
f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 4
Найти: f(A)
Пример несложный, если вы умеете умножать матрицы.
Но это процесс занудный. Сначала находим A2:
[m]A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & -1 \\
0 & 1 & 4 \\
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & -1 \\
0 & 1 & 4 \\
\end{pmatrix}[/m]
Я не буду расписывать весь процесс умножения, в итоге получается:
[m]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & -6 \\
0 & 6 & 15 \\
\end{pmatrix}[/m]
Точно также находим A3:
[m]A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & -6 \\
0 & 6 & 15 \\
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & -1 \\
0 & 1 & 4 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -27 \\
0 & 27 & 54 \\
\end{pmatrix}[/m]
Отдельно заметим, что при умножении матрицы на число нужно каждый элемент матрицы умножить на это число.
[m]9A = \begin{pmatrix}
9 \cdot 1 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 \\
9 \cdot 0 & 9 \cdot 2 & 9 \cdot (-1) \\
9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 & 9 \cdot 4 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
9 & 0 & 0 \\
0 & 18 & -9 \\
0 & 9 & 36 \\
\end{pmatrix}[/m]
И ещё, число равно единичной матрице, умноженной на это число:
[m]4 = 4E = \begin{pmatrix}
4 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 4 \\
\end{pmatrix}[/m]
И теперь подставляем всё это в функцию f(x):
[m]f(A) = A^3 - 6A^2 + 9A + 4 =[/m]
[m]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -27 \\
0 & 27 & 54 \\
\end{pmatrix} - 6 \cdot \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & -6 \\
0 & 6 & 15 \\
\end{pmatrix} + 9 \cdot \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & -1 \\
0 & 1 & 4 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
4 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 4 \\
\end{pmatrix} =[/m]
[m]= \begin{pmatrix}
1 -6 + 9 + 4 & 0-0+0+0 & 0-0+0+0 \\
0-0+0+0 & 0-18+18+4 & -27+36-9+0 \\
0-0+0+0 & 27-36+9+0 & 54-90+36+4 \\
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
8 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 4 \\
\end{pmatrix} [/m]